三维欧氏空间中的张量-1.ppt

证明： 特例:两个矢量 9.利用关系式 和(3.22),(3.23)两式 可证 (4.10) 10. 其它公式 (4.11) * §1.1 正交坐标系的转动 §1.2 物理量在空间转动变换下的分类 §1.3 物理量在空间反演变换下的进一步分类 §1.4 张量代数 §1.5 张量分析 第一章 三维欧氏空间中的张量 §1.1 正交坐标系的转动 方向矢量(基矢)记为 ,满足 如：直角坐标系; 球坐标系; 柱坐标系 直角坐标系 1.1.1 坐标系 正交曲线坐标系 右旋系 右旋直角坐标系: 左旋直角坐标系: 左旋系 讨论绕原点的坐标系转动。考虑右旋直角坐标系 1.1.2 转动变换矩阵 有 转动前坐标系为 ，基矢为 转动后坐标系为 ，基矢为 则 基矢的变换 (1.2) 一对重复指标(哑指标)表示对从1到3求和 利用Einstein求和约定,有 (1.1) 写成矩阵表示形式 (1.3) (1.3)可写为 记 (1.4) 坐标的变换 考虑空间P点,在S系中坐标为 位矢 在 系中坐标为 ，位矢为 用 点乘，有 得 即转动后坐标满足 可写成 (1.5) (1.6) 因为转动前后位矢相等，故有 及 1.1.3 变换矩阵的特性 OP的间距为 因为间距与坐标系转动无关，故 故有 写成矩阵形式,有 :3*3单位矩阵 三维转动变换系数矩阵a 是正交矩阵 (1.7) (1.8) 将(1.5)式代入得 因而 其分量形式为 又由(1.8)式有 (1.9) (1.10) 转置有 对(1.4)式 上式右乘a可得 其分量形式 (1.11) (1.14) 正交关系(1.7)式写成 (1.15) (1.12) 对(1.5)和(1.13)式两边微商后可将 写成 对坐标变换成立，即 即 (1.13) §1.2 物理量在空间转动变换下的分类 (三维空间的)场：物理量是空间坐标的函数 (2.1) 标量场: 一个量 且空间转动变换下不变,即满足 坐标 一样变换,即 (2.2) 记为 矢量场: 三个量 在空间转动变换下像 :第i个分量 列矢形式, 行矢: 坐标表示 (两个坐标分量乘积的变换为 ) 像两个坐标分量的乘积 一样变换 即 (2.3) 二阶张量: 九个量 且在空间转动变换下 记为 :第 个分量 3*3矩阵表示 补充:坐标表示 类似地, 个量 在转动变换下 像n个坐标分量的乘积 变换 即 称为n阶张量 (2.4) 是 第 个分量 标量是零阶张量,矢量为一阶张量 四维空间：n阶张量: 个分量 例2.1 试证 是三维矢量 证明: 例2.2 试证 是三维欧氏空间中的二阶张量 张量的判断 由 即得 三维矢量 证明: 由 可得 由于基矢正交性,得 有 若张量 满足 (2.5) 则分别称张量T相当于指标 是对称的和反对称的 构造张量T关于指标 的对称部分和反对称部分 对称部分 ● ● 反对称部分 则 取n=2可得结论：任意二阶张量都可以表示为 一个对称张量(矩阵）和一个反对称张量(矩阵)之和 (2.6) (2.7) 如二阶张量的表示矩阵为对称矩阵或反对称矩阵 §1.3 物理量在空间反演变换下的分类 空间反演 定义为 特点： 改变了坐标系 的左、右旋 右旋 左旋 (3.1) 1.3.1 变换矩阵 则为真正的张量,简称张量 若n阶张量T的分量按照下式变换 (3.3) 称为赝张量 在空间反演下,若 的分量按n个坐标乘积的 反演变换规律变换,即 (3.2) 赝张量，赝矢量，赝标量 1.3.2 称为场的空间宇称 赝标量 (轴)矢量 二阶赝张量 标量 (极)矢量 二阶张量 常见的空间宇称为 标量 坐标系反演时数量和符号不变 如质量，电荷，温度等 赝标量 反演时符号改变。如极矢量 的混合乘积 不变张量: 1.3.3 若张量 在坐标转动变换不变 (3.4) 例3.1 不变矢量是零矢量 例3.2 是一个二阶对称张量,而且是不变张量 证明: 证明: 又二阶张量 为一单位矩阵 故 不变张量 二阶对称张量 共27个分量，6个不为零 i,j,k为(1,2,3)的正循环 i,j,k为(1,2,3)的逆循环 其它情况 (3.5) 全反对称张量 (3.6) 1.3.4 符号 和 的关系 Levi-Civita 符号的定义 1 2 3 如： 构成三阶全反对称张量 ● 3×3矩阵的行列式的计算为 (3.7) 对于一个二阶张