三角形四心的向量表示-1.ppt

* 三角形“四心”的向量表示 一、 外心 A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。 证明外心定理 证明: 设AB、BC的中垂线交于点O， 则有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等， 故点O是ΔABC外接圆的圆心． 因而称为外心． O O 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心 的定义及性质等相关知识巧妙结合。 到 的三顶点距离相等。 故 是 解析：由向量模的定义知 的外心?，选B。 O是 的外心 若 为 内一点， 则 是 的（???? ） A．内心???????B．外心?????? C．垂心?????? D．重心 B 二、垂心 A B C A B C A B C 三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。 D E F 证明: AD、BE、CF为ΔABC三条高， 过点A、B、C分别作对边的平行线 相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′ 的中垂线；同理BE、CF也分别为 A′C′、A′B′的中垂线， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证． 证明垂心定理 A′ B′ C′ 例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高， 求证：AD、BE、CF相交于一点。 A B C D E F H 又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点． 证：设BE、CF交于一点H， 垂心 A B C O 证：设 例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足: 求证： 化简： 同理： 从而 垂心 1.O是 的垂心 是△ABC的边BC的高AD 上的任意向量，过垂心. 例3． O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足 则P的轨迹一定通过△ABC的 _______ ∵ ∴ ∴ 在△ABC的边BC的高AD上. P的轨迹一定通过△ABC的垂心. 所以， 时， 解: 解: 例4.（2005全国Ⅰ）点O是ΔABC所在平面上一点， 若 ， 则点O是ΔABC的（ ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点 （D）三条高线的交点 则O在CA边的高线上, 同理可得O在CB边的高线上. D 垂心 5. (2005湖南) P是△ABC所在平面上一点，若 则P是△ABC的（　 ） 　　 A．外心　B．内心　C．重心　D．垂心 D 三、重心 A B C A B C A B C 三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。 证明重心定理 E F D G 3. O是 的重心 为 的重心. 是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心. 2.在 中，给出 等于已知AD是 中 BC边的中线; 例1． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心 证明: ∵G是△ABC的重心 即 由此可得 （反之亦然（证略）） 思考： 若O为△ABC外心，G是△ABC的重心，则 O为△ABC的内心、垂心呢？ 例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍． A B C E F D G 证：设 ∵A, G, D共线，B, G, E共线． ∴可设 即：AG = 2GD 同理可得：AG = 2GD , CG = 2GF ． 重心 例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍． 另证: A B C E F D G 重心 想想看？ 四、内心 A B C A B C A B C A B C A B C 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。 证明内心定理 证明 : 设∠A、∠C的平分线相交于I, 过I作ID⊥BC，IE⊥AC，