三重积分的几种计算方法-1.ppt

* 当 ? ? R3，有 X=(x, y, z)?? , d? = dv 则 三重积分 1. 直角坐标系下三重积分的计算 直角坐标系下，记体积元素 dv=dxdydz dz dy dx y x z ? 0 则 三重积分 x y z 0 z=z2(x, y) z=z1(x, y) D (1) 化成一个定积分和一个二重积分 设 D 为 ? 在 xy 平面上投影区域. y=y1(x) b a y=y2(x) z x y x+y+z=1 0 例1. 计算 其中?是由平面x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. 解： D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1 1 1 D x+y=1 x y 例2. 计算 其中 ? 是由抛物 柱面 及平面y=0, z=0, 解： D: 0≤ y ≤ , 0 ≤ x ≤ y x z ? 0 D 0 y x y=y1(x, z) z 0 ? y=y2(x, z) Dxz y x x=x2(y, z) z 0 ? x=x1(y, z) Dyz y x 例3. 将 化为三次定积分，其中 ? 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域. 解：先对 z 积分，将? 向 xy 平面投影. z= x2+y2 x2+y2=1 ? D: x2+y2≤1 z=1 ? z=1 x y z 0 1 Dxy z=1 z= x2+y2 x y z 0 1 Dxy z=1 z= x2+y2 解2：先对 y 积分，将 ? 向 xz 平面投影： z= x2+y2 ? Dxy: x2 ≤z ≤ 1, z=1 ? 1 ≤x≤1 z= x2+y2 ? x y z 0 Dxz 1 ?1 (2) 化为一个二重积分和一个定积分 ? :(x, y)?D(z), z1≤z≤z2 0 x z y z2 z z2 ? D(z) 例4. 计算 其中 ? 是由 z=x2+y2 和 z=1 所围成的闭区域. x y z 0 1 D(z) 1 解：D(z): x2+y2≤z z?[0, 1] 例5. 计算 解： D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1?x?y z x y 0 1 1 1 x : 0 ≤ x ≤ 1 其中 ? 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. D(x) z=1?x?y x y 0 1?x 1?x 2. 利用柱面坐标计算三重积分 M ? (r, ?, z) x=rcos? y=rsin? z=z (0≤r+?, 0≤?≤2?, ??z+?) r ? z M ? 0 x z y y x 柱面坐标的三组坐标面分别为 r=常数 ?=常数 z=常数 x y z o = r 故 dxdydz=rdrd?dz 例1. 计算 其中? 由 与 z=1 所围闭区域. 解： ? D: x2+y2≤1 z =1 ? z =r z =0 ? x y z 0 D z=r z=1 x y z 0 z=r z=1 1 D 例2. 计算 ? ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解： D: x2+y2≤1 ? x y z 0 1 例3. 再解例1 其中?是 由 与 z=1 所围闭区域. 解：用? = ? 截 ? 得 D(?) 而 0≤ ? ≤2? 故 原积分= x y z ? x z ? y D(? ) z 1 r 0 z= r 1 例4. 再解例2 其中? ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解：用? = ? 截 ? 得 D(?) 而 0≤ ? ≤2? 故 原积分 = x y z 0 ? x y z 0 ? 0 1 1 r z 3. 利用球面坐标计算三重积分 M ? (r, ?,?) x=OPcos ? z= r cos? (0≤r+?, 0≤?≤?, 0≤?≤2?) y= OPsin ? ? M 0 z x y ? ? r P x y z = r sin? cos? = rsin? sin? *