圆锥曲线的综合应用(教师版).doc

圆锥曲线的综合应用 一、圆锥曲线的最值问题 方法1：定义转化法 【例1】已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________． 答案　9 方法2：切线法 【例2】求椭圆＋y2＝1上的点到直线y＝x＋2的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标． 解　设椭圆的切线方程为y＝x＋b， 代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0. 由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±. 当b＝时，直线y＝x＋与y＝x＋2的距离d1＝，将b＝代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0， 解得x＝－，此时y＝， 即椭圆上的点到直线y＝x＋2的距离最小，最小值是； 当b＝－时，直线y＝x－到直线y＝x＋2的距离d2＝，将b＝－代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0， 解得x＝，此时y＝－， 即椭圆上的点到直线y＝x＋2的距离最大，最大值是. 方法3：参数法 【例3】在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________． 解析　因为椭圆＋y2＝1的参数方程为 (φ为参数)． 故可设动点P的坐标为(cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π. 因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝2＝2sin，所以，当φ＝时，S取最大值2.故填2. 答案　2 方法4：基本不等式法 【例4】设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值． 解　依题设得椭圆的方程为＋y2＝1. 直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)． 设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2， 且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝. 根据点到直线的距离公式和式， 得点E，F到AB的距离分别为 h1＝＝， h2＝＝， 又|AB|＝＝，所以四边形AEBF的面积为 S＝|AB|(h1＋h2)＝··＝ ＝2≤2， 当2k＝1，即k＝时，取等号． 所以四边形AEBF面积的最大值为2. 二、圆锥曲线的范围问题 方法1：曲线几何性质法 【例1】已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是________． 解析　根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF2|＝r， 则|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝，|PF2|＝. 根据双曲线的几何性质，|PF2|≥c－a，即≥c－a， 即≤，即e≤.又e＞1， 故双曲线的离心率e的取值范围是.故填. 答案　 方法2：判别式法 【例2】(2011·浏阳一中月考)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q. (1)求k的取值范围； (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得向量＋与共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由． 解　(1)由已知条件，知直线l的方程为y＝kx＋， 代入椭圆方程，得＋(kx＋)2＝1， 整理得x2＋2kx＋1＝0. 由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q， 得Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0， 解得k＜－或k＞， 即k的取值范围为. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)． 由方程，知x1＋x2＝－. 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝. 由A(，0)，B(0,1)，得＝(－，1)． 所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)， 将代入，解得k＝. 由(1)知k＜－或k＞， 故不存在符合题意的常数k. 三、圆锥曲线的定值、定点问题 方法1：特殊到一般法 【例1】已知双曲线C：x2－＝1，过圆O：x2＋y2＝2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两点，证明：AOB的大小为定值． 证明　当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝±. 当x＝时，代入双曲线方程，得y＝±， 即A(，)，B(，－)，此时AOB＝90°， 同理，当x＝－时，AOB＝90°. 当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋b， 则＝，即b2＝2(1＋k2)． 由直线方程和双曲线方程消掉y， 得(2－k2)x2－2kbx－(b2＋2)＝0， 由直线l与双曲线交于A，B两点． 故2－k2≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2 ＝＋＋＝， 故x1x2＋y1y2＝＋＝， 由于b2＝2(1＋k2)， 故x1x2＋y1y2＝0，即