圆椎曲线典型综合题目.doc

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圆椎曲线典型综合题目

22.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0)、B(0,2),点c满足 = +β,其中 ,,且 (Ⅰ)求点C的轨迹方程; (Ⅱ)过点D(2,0)的直线和点C的轨迹交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,记。 22.解法一:(Ⅰ)设点,由: …………2分 现由得点C的轨迹方程为。……………4分 (Ⅱ)由已知,直线的斜率存在,因此,设直线 的方程为。…………5分 代入方程并整理得: 。 由判别式△>0可得>0。 ∴< …………………7分 设,则 ① 由条件可得,则且<<1。……………9分 由①知,, 。 ∴。 ……………………11分 又∵<,∴<, ∴<, 又∵<<1,∴<1。 ………………14分 解法二:(Ⅰ)设点由,得 …………………2分 再由得点C的轨迹方程为 (Ⅱ)当直线与轴重合时,易得 ……………………5分 当直线与轴不重合时,设,直线的方程为,代入方程消去得: 由判别式△>0,可得m2> …………………7分 设 则 ① 由条件且0<λ<1 …………………9分 ∴将①式代入得: …………………11分 由 ∴4 又,所以 …………………13分 综上所述, …………………14分 20. 双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线y=为C的一条渐近线. (1)求双曲线C的方程; (2)过点P(0,4)的直线,交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).当,且时,求Q点的坐标. 解:(Ⅰ)设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为, 对于双曲线,又为双曲线的一条渐近线 解得 , 双曲线的方程为 (Ⅱ)解法一: 由题意知直线的斜率存在且不等于零。 设的方程:,则 ∵ ∵在双曲线上, 同理有: 若则直线过顶点,不合题意. 是二次方程的两根. , 此时.所求的坐标为. 解法二:由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程,,则. ,分的比为. 由定比分点坐标公式得 下同解法一 解法三:由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程:,则. ,. ,,, 又,,即 将代入得 ,否则与渐近线平行。。 解法四:由题意知直线l得斜率k存在且不等于零,设的方程:,,则 ,。 同理 . 即 。 (*) 又 消去y得. 当时,则直线l与双曲线得渐近线平行,不合题意,。 由韦达定理有: 代入(*)式得 所求Q点的坐标为。 20.(本小题满分13分) 如图,三角形ABC的三个顶点在抛物线y=2x2上,M(0, a)(a0)为定点,且=0. (Ⅰ)若A点坐标为(―1, 2),求证:直线BC过定点; (Ⅱ)若A是动点,B在坐标原点处,点N满足: =,求||的最小值. 20.(Ⅰ)设B(x1, 2x), C(x2, 2x),则kBC==2(x1+x2)……………………(1分) ∴直线BC的方程为y―2x=2(x1+x2)(x―x1),即y=2(x1+x2)x―2x1x2 ①……………………………………(2分) =(x1+1, 2x―2),=(x2+1, 2x―2)…………………………………………(3分) 由·=0得,(x1+1)(x2+1)+4(x―1)(x―1)=0,∵x1≠―1, x2≠―1,∴1+4(x1―1)(x2―1)=0,即2x1x2=2(x1+x2)―…………………………………………………………(4分) 代入①得y=2(x1+x2)(x―1)+……………………(5分) ∴直线BC过定点(1, )…………………………(6分) (Ⅱ)设A(t, 2t2)(t≠0),则kAB==2t,∵·=0,∴kAC=―…………(7分) 直线AC的方程为y―2t2=―(x―t),联立解得xC=――t……………………………………………………………………………………………(8分) 由=(+)―得=(+),∴N是BC的中点,∴xN=xC, yN=yC=x………………………………………………………………………………(9分) ||2=x+(yN―a)2=,设z=x,则z=(+t)2≥1,∴||2=z2+(―2a)z+a2(z≥1)…………………………………………………

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