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圆椎曲线典型综合题目
22.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0)、B(0,2),点c满足
= +β,其中 ,,且
(Ⅰ)求点C的轨迹方程;
(Ⅱ)过点D(2,0)的直线和点C的轨迹交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,记。
22.解法一:(Ⅰ)设点,由: …………2分
现由得点C的轨迹方程为。……………4分
(Ⅱ)由已知,直线的斜率存在,因此,设直线 的方程为。…………5分
代入方程并整理得:
。
由判别式△>0可得>0。
∴< …………………7分
设,则 ①
由条件可得,则且<<1。……………9分
由①知,,
。
∴。 ……………………11分
又∵<,∴<,
∴<,
又∵<<1,∴<1。 ………………14分
解法二:(Ⅰ)设点由,得 …………………2分
再由得点C的轨迹方程为
(Ⅱ)当直线与轴重合时,易得 ……………………5分
当直线与轴不重合时,设,直线的方程为,代入方程消去得:
由判别式△>0,可得m2> …………………7分
设
则 ①
由条件且0<λ<1 …………………9分
∴将①式代入得:
…………………11分
由
∴4
又,所以 …………………13分
综上所述, …………………14分
20. 双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线y=为C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P(0,4)的直线,交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).当,且时,求Q点的坐标.
解:(Ⅰ)设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为,
对于双曲线,又为双曲线的一条渐近线
解得 ,
双曲线的方程为
(Ⅱ)解法一:
由题意知直线的斜率存在且不等于零。
设的方程:,则
∵
∵在双曲线上,
同理有:
若则直线过顶点,不合题意.
是二次方程的两根.
,
此时.所求的坐标为.
解法二:由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程,,则.
,分的比为.
由定比分点坐标公式得
下同解法一
解法三:由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程:,则.
,.
,,,
又,,即
将代入得
,否则与渐近线平行。。
解法四:由题意知直线l得斜率k存在且不等于零,设的方程:,,则
,。
同理
.
即 。 (*)
又
消去y得.
当时,则直线l与双曲线得渐近线平行,不合题意,。
由韦达定理有:
代入(*)式得 所求Q点的坐标为。
20.(本小题满分13分)
如图,三角形ABC的三个顶点在抛物线y=2x2上,M(0, a)(a0)为定点,且=0.
(Ⅰ)若A点坐标为(―1, 2),求证:直线BC过定点;
(Ⅱ)若A是动点,B在坐标原点处,点N满足:
=,求||的最小值.
20.(Ⅰ)设B(x1, 2x), C(x2, 2x),则kBC==2(x1+x2)……………………(1分)
∴直线BC的方程为y―2x=2(x1+x2)(x―x1),即y=2(x1+x2)x―2x1x2 ①……………………………………(2分)
=(x1+1, 2x―2),=(x2+1, 2x―2)…………………………………………(3分)
由·=0得,(x1+1)(x2+1)+4(x―1)(x―1)=0,∵x1≠―1, x2≠―1,∴1+4(x1―1)(x2―1)=0,即2x1x2=2(x1+x2)―…………………………………………………………(4分)
代入①得y=2(x1+x2)(x―1)+……………………(5分)
∴直线BC过定点(1, )…………………………(6分)
(Ⅱ)设A(t, 2t2)(t≠0),则kAB==2t,∵·=0,∴kAC=―…………(7分)
直线AC的方程为y―2t2=―(x―t),联立解得xC=――t……………………………………………………………………………………………(8分)
由=(+)―得=(+),∴N是BC的中点,∴xN=xC, yN=yC=x………………………………………………………………………………(9分)
||2=x+(yN―a)2=,设z=x,则z=(+t)2≥1,∴||2=z2+(―2a)z+a2(z≥1)…………………………………………………
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