12.2 三角形全等的条件 要点解析_9115995.docVIP

三角形全等的条件·要点全析 1．探索三角形全等的条件 三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别对应相等．反过来，如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等．那么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等． 但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等． 2．三角形全等的条件一：“SSS”或“边边边” （1）SSS：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． （2）书写格式：如图13-2-1． 在△ABC和△A′B′C′中，① ② ∴　△ABC≌△A′B′C′（SSS）．③ （3）书写格式的步骤分三步： 第一步：指出在哪两个三角形中．如上边的①，在△ABC和△A′B′C′中． 第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件．如上边的②． 第三步；写出结论，如上边的③，△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【说明】①第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“≌”，也不能取消．②第二步中，大括号内的三个条件的书写是有顺序的，必须与判定条件一致，并且注意边、角字母的对应．一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一个三角形的对应边、角写在右边． ③写结论时，注意对应顶点写在对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的简写，如“SSS”或“边边边”． 例如：如图13-2-2．已知AB＝AC，D为BC中点．试说明∠B＝∠C是否成立，为什么？ 解：∠B＝∠C成立．∵　D为BC中点， ∴　BD＝CD． 在△ABD和△ACD中， ∴　△ABD≌△ACD（SSS）． ∴　∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）． 【说明】①在本例中使用了证明的格式． ②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号，前一个“∴”，是由前面大括号内的三个条件得出的．后一个“∴”，是将前一个“∴”当成了“∵”，然后推出后一个“∴”，这里省略了一步：∵△ABD≌△ACD．因此，今后在书写中要注意． 3．三角形全等的条件二：“边角边”或“SAS” （1）SAS：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”． （2）表达格式为在△ABC和△DEF中（图13-2-3） ∴　△ABC≌△DEF（SAS）． 例如：如图13-2-4中，AD、BC相交于点O．OA＝OD，OB＝OC，那么AB＝DC是否成立． 解：∵　AD、BC相交于点O， ∴　∠AOB＝∠DOC（对顶角相等）． 在△AOB和△DOC中， ∴　△AOB≌△DOC（SAS）．∴　AB＝DC 【说明】本题中，书写三条件时，应该按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，用括号括起来；或者写成一行，也按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，再推出两个三角形全等． 4．三角形全等的条件三：“角边角”或“ASA” （1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”． （2）表达格式：如图13-2-5，在△ABC和△DEF中， ∴　△ABC≌△DEF（AAS）． 5．三角形全等的条件四：“角角边”或“AAS” （1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”． （2）表达格式，如图13-2-5，在△ABC和△DEF中， ∴　△ABC≌△DEF（AAS）． 例如：如图13-2-6中，AB∥CD，AE∥DF，AB＝CD．求证：AE＝DF． 证明：∵　AB∥CD， ∴　∠ABC＝∠DCB． ∵　AE∥DF，∴　∠AEB＝∠DFC． 在△ABE和△DCF中， ∴　△ABE≌△DCF（AAS）．∴　AE＝DF． 6．直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“HL” （1）HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”． （2）表达格式：如图13-2-7，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝AC在Rt△ABD和Rt△ACD中， ∴　Rt△ABD≌Rt△ACD（HL） （3）直角三角形是三角形中的一种特殊情况，因此，它也可以用一般三角形全等的条件．如两条直角边对应相等，可用“SAS”，一边一锐角对应相等可用