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《实变函数》电子教案 （重庆邮电大学数理学院 邓志颖） 课程名称： 实变函数 学时/学分： 48/3.0 教材名称： 实变函数与泛函分析基础（第三版） 出 版 社： 高等教育出版社 编 著 者： 程其襄等 适用专业： 数学与应用数学专业 (大三上学期) 序言： 实变函数简介 微积分发展的三个阶段： 创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何）(无穷小) 严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass(极限理论(ε-N, ε-δ语言)，实数理论) 外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan（微积分基本定理如何在高维空间得到体现） 微积分继续发展的三个方向： 外微分形式 (整体微分几何)（微积分基本定理如何在高维空间得到体现） 复数域上的微积分（复变函数） 微积分的深化和拓展（实变函数） 1.Riemann积分回顾： (1) Riemann积分的定义 其中 积分与分割、介点集的取法无关. 几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。 (2) Riemann可积的充要条件 在上Riemann可积 其中： 分划，使得 分划，使得所有振幅的小区间的总长度不超过. 例：Dirichlet函数不Riemann可积. 因为上积分为 下积分为 所以对于分划，有 所以Dirichlet函数不Riemann可积. （3)Riemann积分的局限性 微积分基本定理 定理：若在上连续，则 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积； 积分与极限交换次序（一般要求一致收敛） 例：设为中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序列)，作上的函数列 则在上Riemann可积,但 不Riemann可积. 故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换次序，即： 不一定成立. 2.Lebesgue积分思想简介： 为使在上Riemann可积，按Riemann积分思想，必须使得分划后在多数小区间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积.Lebesgue提出，不从分割定义域入手，而从分割值域入手；即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划（每一块不一定是区间），使得在每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定义域的点加以归类 对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说： 假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想； 如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想 即： 作分划其中 作点集在上的振幅不会大于. 作和：表示的“长度， 取极限： 3.Lebesgue积分构思产生的问题： （1） 先介绍集合（第一章集合，第二章点集） （2） 集合的“长度”如何定义（第三章 测度论）； （3） 怎样的函数可使都有“长度”（第四章 可测函数）； （4） 定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章 积分论）； （5） 将牛顿—莱布尼兹公式加以推广（第六章 微分与不定积分） 教材：实变函数论与泛函分析基础（第三版）,程其襄等编, 高等教育出版社，2010年6月. 参考文献： 实变函数论（第二版）,江泽坚,吴智泉编, 高等教育出版社，2003年7月. 周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001) 周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9 胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7 徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002 郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987 夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2 Halmos，测度论(Measure theory) Rudin , 实分析与复分析(Real and complex analysis). 教时安排：第一章 集合 6学时，第二章 点集 6学时， 测度论 8学时，第四章 可测函数 10学时， 积分论 12学时，第六章 微分与不定积分 6学时， 共六章 48学时。 第一章 集合 （总授课时数 6学时） 由德国数学家Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性 而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括 实