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1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)
§1.4.2正弦函数余弦函数的性质
【教材分析】
《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修4中的内容,是正弦函数和余弦函数图像的继续,本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。
【教学目标】
1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质;会求含有的三角式的性质;会应用正、余弦的值域来求函数和函数
的值域
2.
3.
【教学重点难点】
教学重点:。
难点:的函数的值域
【学情分析】
知识结构:学生已经具备了一定的绘图技能,类比推理画出图象,并通过观察图象,总结性质的能力。心理特征:。但在处理问题时学生考虑问题不深入,往往会造成错误的结果。
复?习(或).
2.值域
(1)值域
因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,
所以,
即
也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是.
(2)最值
正弦函数
①当且仅当时,取得最大值
②当且仅当时,取得最小值
余弦函数
①当且仅当时,取得最大值
②当且仅当时,取得最小值
3.周期性
由知:
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
定义:对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,
都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.
由此可知,都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
根据上述定义,可知:正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.
4.奇偶性
由
可知:()为奇函数,其图象关于原点对称
()为偶函数,其图象关于轴对称
5.对称性
正弦函数的对称中心是,
对称轴是直线;
余弦函数的对称中心是,
对称轴是直线
(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线,对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).
6.单调性
从的图象上可看出:
当时,曲线逐渐上升,的值由增大到
当时,曲线逐渐下降,的值由减小到
结合上述周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.
余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.
三、例题分析
例1、求函数y=sin(2x+)的单调增区间.
解析:求函数的单调增区间时,应把三角函数符号后面的角看成一个整体,采用换元的方法,化归到正、余弦函数的单调性.
解:令z=2x+,函数y=sinz的单调增区间为[,].
由 ≤2x+≤得 ≤x≤
故函数y=sinz的单调增区间为 [, ](k∈Z)
点评:“整体思想”解题
变式训练1. 求函数y=sin(-2x+)的单调增区间
解:令z=-2x+,函数y=sinz的单调减区间为[,]
故函数sin(-2x+)的单调增区间为[ , ](k∈Z).
例2:判断函数的奇偶性
解析:判断函数的奇偶性,首先要看定义域是否关于原点对称,然后再看与的关系,对(1)用诱导公式化简后,更便于判断.
解:∵=,
∴
所以函数为偶函数.
点评:判断函数的奇偶性时, 判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤.
变式训练2. )
解:函数的定义域为R,
=
===
所以函数)为奇函数.
例比较∵y=sinx在[,](k∈Z),上是单调减函数,
又 ∴ sin2500sin2600
点评:比较同名的三角函数值的大小,找到单 调区间,运用单调性即可,若比较复杂,
先化间;比较不同名的三角函数值的大小,应先化为同名的三角函数值,再进行比较.
变式训练3. cos
解:cos
由学生分析,得到结论,其他学生帮助补充、纠正完成。
五、反思总结,当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。
课堂小结:
1、数学知识:正、余弦函数的图象性质,并会运用性质解决有关问题
2、数学思想方法:数形结合、整体思想。
达标检测:
一、选择题
1.函数的奇偶数性为( ).
A. 奇函数 B. 偶函数
C.既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
2.下列函数在上是增函数的是( )
A. y=sinx B. y=cosx
C. y=sin2x D. y=cos2x
3.下列四个函数中,既是上的增函数,又是以为周期的偶函数的是( ).
A. B.
C. D.
二、填空题
4.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。
①
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