作差法在讨论直线与圆锥曲线.docVIP

“作差法”与圆锥曲线 来宾市第一中学 覃卫平 代入法是讨论直线与圆锥曲线关系中最常用的方法，而把直线代入圆锥曲线方程后，往往在整理过程中花很多时间，而且容易出错。解决关于弦的中点和直线斜率问题采用代点作差法会达到很好的效果。即 直线AB:与曲线、和相交于、两点，AB的中点为则 椭圆： 即 双曲线： 即 抛物线： 即 从而确定直线AB斜率与弦AB中点的关系。 一、相关点法求曲线方程 例1.已知直线与椭圆交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点). 若k=1,且四边形OAPB为矩形，求a的值； 若a=2,当k变化时，求点P的轨迹方程. 解：(1)略 (2)设,则OP的中点. 在椭圆上， 即 ，不垂直于x轴 此处巧妙利用中点Q的坐标表示也是一个值得赞赏的方法。 二、已知中点求直线方程 例2．椭圆的两个焦点为，点P在椭圆C上，且，. 求椭圆C的方程； 若直线l过圆的圆心M，交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程. 解：(1)易求得椭圆的方程为 (2)易知圆心 设,则M为AB的中点.在椭圆上， ，显然l不垂直于x轴 代点作差后通过平方差公式分解因式后，得到与具有斜率和中点的结构特征，利于整体消元，达到化繁为简的效果。 (2)对比解法：易知圆心，设，显然AB不垂直于x轴，设AB: ，?由方程组 得， A、B关于M对称，故…… 容易看出，与前一方法相比，从方程组消去y化为关于x的一元二次方程和由两个过程，都有相当大的运算量增加了解题的难度。 三、已知中点求直线方程 例3.已知椭圆E的中心为坐标原点O，焦点在x轴上,离心率为，点、 B在椭圆上，且. 求椭圆E的方程及直线AB的斜率； 求证：当的面积最大时，原点O是的重心. 解：(1)……椭圆E的方程为； 设，在椭圆上， ， ，， (2)略 四、涉及中点和斜率的综合问题 例4.已知椭圆的右准线为与x轴相交于D，右焦点F到上顶点的距离为，点为线段OF上的一个动点. 求椭圆的方程； 是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得； 对(2)中的点A、B，求证：恒为定值. 其中第(2)题中的可理解为C在AB的中垂线上，故 解：(1)……椭圆的方程为 (2)由(1)知，，令，，则 C在AB的中垂线上，设, AB的中点为， 在椭圆上， 即　① ， ② 由①②得， 又点Q在直线l上， 当时，，故 当时，存在使得； 当时，不存在直线l，使得. (3)(略) 直线与圆锥曲线的位置关系高中数学的重点内容，最常用的方法是将直线方程代入圆锥曲线方程，然后利用韦达定理，整体消元法解决问题。而代点作差是解决涉及中点和斜率相关问题的一个巧妙方法。 2