八年级下数学第六节6.ppt

18.1 平行四边形 教学目标 1. 理解并掌握平行四边形的概念和性质． 2. 掌握平行四边形的判定定理，并会用它们进行有关的论证和计算． 3. 理解判定定理与性质定理的区别与联系． 4. 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 教学重点 平行四边形判定的性质和判定定理的应用． 教学难点 理解判定定理与性质定理的区别与联系． 伸缩门 竹篱笆 平行四边形是常见的图形．小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等，都有平行四边形的形象． 我们知道，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用“ ”表示，如图，平行四边形ABCD记作“ ABCD”． 平行四边形的性质 探究 根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？ 通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．下面我们对它进行证明． 上述猜想涉及线段相等、角相等．我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法．为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明. 证明：如右图，连接AC． ∵ AD∥BC，AB∥CD， ∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4． 又 AC是△ABC和△CDA的公共边， ∴ △ABC≌△CDA． ∴ AD＝CB，AB＝CD， ∠B＝∠D． 请同学们自己证明∠BAD＝∠DCB． 这样我们证明了平行四边形具有以下性质： 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等． 例1 如下图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证AE＝CF． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A＝∠C，AD＝CB． 又 ∠AED＝∠CFB＝90°， ∴ △ADE≌△CBF． ∴ AE＝CF. 距离是几何中的重要度量之一．前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条平行线之间的距离． 如下图，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB＝CD．也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． 从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如下图，a∥b，A 是 a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是 a，b之间的距离． 练习答案 1. （1）16；（2）142o，38o，142o，运用平行四边形的对角和邻角的性质． 2. AD＝BC，这时构成四边形ABCD的两组对边分别平行，它是平行四边形．根据平行四边形对边相等的性质，可知AD＝BC ． 上面我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质，下面我们研究平行四边形对角线的性质． 探究 如图，在 ABCD中，连接 AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？你能证明发现的结论吗？ 我们猜想，在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD． 与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似，我们也可以通过三角形全等证明这个猜想．请你结合下图完成证明． 由此我们又得到平行四边形的一个性质： 平行四边形的对角线互相平分． 例2 如下图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积． 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ BC＝AD＝8，CD＝AB＝10． ∵ AC⊥BC， ∴ △ABC是直角三角形． 根据勾股定理， 又 OA＝OC， ∴ OA＝ AC＝3， S□ABCD＝BC·AC＝8×6＝48. 练习答案