2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件：第7章 第7节 立体几何中的向量方法.ppt

第七节　立体几何中的向量方法 1．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l________或________，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 2．空间位置关系的向量表示 3.利用空间向量求空间角 (1)求两条异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 (2)求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝_________________＝ ____________． (3)求二面角的大小 ①若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是_________________的夹角(如图7－7－1①)． ②设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是 _______________________(如图7－7－1②③)． 1．怎样求平面的法向量？ 2．如何确定一个二面角的两个半平面的法向量夹角与这个二面角的平面角的大小关系？ 【提示】　可从两个方面判断：一是观察图形，确定二面角的平面角是锐角还是钝角；二是根据两个半平面的法向量的方向来确定． 1．(人教A版教材习题改编)设u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝(　　) A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 【解析】　∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0， ∴t＝5. 【答案】　C 【答案】　A 3．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 【答案】　A 如图7－7－4所示，在四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角． (1)求证：CM∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PAD. 【尝试解答】　以C为坐标原点， CB所在直线为x轴，CD所在直线 为y轴，CP所在直线为z轴建立如 图所示的空间直角坐标系Cxyz. ∵PC⊥平面ABCD， 1．恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． 2．证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算． 3．证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明． 如图7－7－5所示，已知直三棱柱 ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直 角三角形，∠BAC＝90°，且AB ＝AA1，D、E、F分别为B1A、 C1C、BC的中点．求证： (1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF. 【证明】　如图建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4， 则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)， B(4，0，0)，B1(4，0，4)． (2012·湖南高考)如图7－7－6 所示，在四棱锥P－ABCD中， PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC ＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC ＝90°，E是CD的中点． (1)证明：CD⊥平面PAE； (2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积． 【思路点拨】　(1)以点A为坐标原点建系，用向量法证明CD⊥AE，CD⊥AP. (2)先确定平面PAE和平面ABCD的法向量，再根据直线PB的方向向量和两个平面的法向量的夹角余弦值的绝对值相等求AP. 【尝试解答】　如图所示，以A 为坐标原点，AB，AD，AP所在 直线分别为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系．设PA＝h， 则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(4，0，0)， (2012·山东高考)在如图 7－7－8所示的几何体中， 四边形ABCD是等腰梯形， AB∥CD，∠DAB＝60°， FC⊥平面ABCD，AE⊥BD， CB＝CD＝CF. (1)求证：BD⊥平面AED； (2)求二面角F－BD－C的余弦值． 【思路点拨】　(1)先证AD⊥BD，再根据AE⊥BD可证明结论成立． (2)根据AD⊥BD知AC⊥BC，以点C为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量法求解． 【尝试解答】　证明