2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件：第4章 第3节 平面向量的数量积.ppt

第三节　平面向量的数量积 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量_______________叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为______． (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影___________的乘积． 2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝__________＝__________； (3)分配律：a·(b＋c)＝______________． 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 1．若a·b＝b·c，则a＝c吗？ 【提示】　不一定．b＝0时就不成立． 2．(a·b)c＝a(b·c)一定成立吗？ 【提示】　不一定成立．(a·b)c是与c平行的向量，a(b·c)是与a平行的向量．而a与c关系不确定，故(a·b)c＝a(b·c)不一定成立． 【答案】　C 【解析】　|a·b|＝|a||b||cos θ|，故B错误． 【答案】　B 3．(2012·福建高考)已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是(　　) A．x＝－ B．x＝－1 C．x＝5 D．x＝0 【解析】　∵a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x.又a⊥b?a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0. 【答案】　D (2) 如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)． 又E在AB边上，故设E(t，0)(0≤t≤1)． 【答案】　(1)－16　(2)1　1 (1)(2012·安徽高考)设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________． (2)(2013·珠海调研)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________． 【思路点拨】　(1)求出a＋c的坐标后，利用(a＋c)·b＝0求出m； (2)利用向量垂直的充要条件和数量积的定义建立关于k的方程，进而解方程求k的值． 1．(1)非零向量垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0.(2)本例(2)中常见的错误是不能利用条件判定a·b≠－1，导致求解受阻． 2．(1)a⊥b?a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0时，a·b＝0，但不能说a⊥b.(2)a⊥b?a·b＝0，体现了“形”与“数”的转化，用之可解决几何问题中的线线垂直问题． (2012·江西高考)设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________． 1．(1)在进行向量模与夹角的计算时，关键是求出向量的数量积，注意避免错用公式．如a2＝|a|2是正确的，而a·b＝|a||b|和|a·b|＝|a||b|都是错误的．(2)①研究向量的夹角应注意“共起点”；②两个非零共线向量的夹角分别是0°(方向相同)与180°(方向相反)． 2．(1)求两向量的夹角，进而确定两直线的夹角时，要注意两者的区别与联系．(2)求向量的长度，进而可解决平面上两点间的距离，求线段的长度问题． 两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝0. 向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题；解答题以向量为载体，常与平面几何、三角函数、解三角形、解析几何知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想． 【答案】　D 1．(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是(　　) A．a∥b　　　　　　　　 B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b 【解析】　因为|a＋b|＝|a－b|， 所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b. 【答案】　B 【答案】　C 菜 单 课后作业 典例探究·提知能 自主落实·固基础 高考体验·明考情 新课标 · 理科数学（广东专用） 0 |b|cos θ |a|·|b|cos_θ λ(a·b) a·(λb) a·b＋a·c 【答案】　A 1.若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？ 2．若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？ 菜 单 课后作业 典例探究·提知能 自主落实·固基础 高考体验·明考情 新课标 · 理科数学（广东专用）