2014年高考总复习：二次函数与幂函数.doc

第六节二次函数与幂函数 [知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0]减(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减 公共点 (1,1) 二、二次函数 1．二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质 a0 a0 图象 图象特点 对称轴：x＝－；　顶点： 性质 定义域 xR 值域 y＋∞ y 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数 单调性 x－∞，时递减，x－，＋∞时递增 x时递增，x时递减 [小题能否全取] 1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是(　　) A．f(x)＝x2－1　　　　　　　B．f(x)＝5x2 C．f(x)＝－x2 D．f(x)＝x2 解析：选D　形如f(x)＝xα的函数是幂函数，其中α是常数． 2．(教材习题改编)设α，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　　) A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 解析：选A　在函数y＝x－1，y＝x，y＝x，y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故α＝1,3. 3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：选C　由题意知即得a. 4．(教材习题改编)已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为________． 解析：设幂函数的解析式为y＝xα，则3＝α，得α＝－2.故y＝x－2. 答案：y＝x－2 5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________． 解析：由题意知得 则f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5. 答案：5 　　1.幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c0，a≠0恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c0，a≠0恒成立的充要条件是 [注意]　当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况． 幂函数的图象与性质 典题导入 [例1]　已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________. [自主解答]　函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数， m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数； 当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数． m＝－1. [答案]　－1 由题悟法 1．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降． (2)曲线在第一象限的凹凸性：α1时，曲线下凸； 0α1时，曲线上凸；α0时，曲线下凸． 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 以题试法 1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是(　　) A．y＝x，y＝x2，y＝x，y＝x－1 B．y＝x3，y＝x2，y＝x，y＝x－1 C．y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1 D．y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x－1 解析：选B　由图知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R，当x0时，图象是向下凸的，结合选项知选B. (2)(2013·淄博模拟)若a0，则下列不等式成立的是(　　) A．2aa(0.2)a　　　　B．(0.2)aa2a C.a(0.2)a2a D．2a(0.2)aa 解析：选B　若a0，则幂函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)aa0.所以(0.2)aa2a