2015-2016学年 2.1《绝对值三角不等式》课件.ppt

S(x)=2(|x-10|+|x-20|)， 思考题： P20: 1,2,3,4, 作 业 谢谢聆听 THANK YOU FOR YOUR 模板来自于 * 2.1绝对值三角不等式 |a|= |a| A a O x |a-b| A a B x b 几何意义: 表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离. |a-b|= 几何意义： 表示数轴上实数a,b对应的点A，B之间的距离，即线段AB的长度 一、绝对值的几何意义 (1)当ab0时, x ? ? ? ? O a b a+b x ? ? ? ? O a b a+b a0,b0 a0,b0 由图可得: |a+b|=|a|+|b| (2)当ab0时 ? ? ? ? x O a b a+b ? ? ? ? x O a b a+b a0,b0 a0,b0 |a+b||a|+|b| |a+b||a|+|b| (3)如果ab=0,则a=0或b=0 易得: |a+b|=|a|+|b| 综上所述,可得: 定理1: 如果a,b是实数, 则 |a+b|?|a|+|b|, 当且仅当ab?0时,等号成立. 如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 ,能得出什么结果? 当向量 共线呢? x y O 在不等式|a+b|?|a|+|b|中, 当向量 不共线时,则由向量加法的三角形法则, 用向量 分别替换实数a,b, 向量 构成三角形, 故可得向量形式的不等式: |a+b||a|+|b| 故该定理的几何意义为: 三角形的两边之和大于第三边. 绝对值三角不等式 定理1的几何意义 定理1: 如果a,b是实数, 则 |a+b|?|a|+|b|, 当且仅当ab?0时,等号成立. 定理2: 如果a,b,c是实数,则 |a-c|?|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)?0时,等号成立. 分析:由于a-c, a-b与b-c都是实数,且 a-c=(a-b)+(b-c) 证明:根据定理1,有: |a-c|=|(a-b)+(b-c)| ?|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)?0时,等号成立. 则可使用定理1的结论进行证明. x ? ? ? a b c A B C x ? ? ? ? b c a A B C ? ? ? ? x a c b A B C 在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C, (1)当点B在点A,C之时, |a-c|=|a-b|+|b-c| (2)当点B在点A,C之外时, |a-c||a-b|+|b-c| 定理2的几何意义 类型3：含绝对值不等式恒成立问题 类型4：含绝对值不等式的证明 例1:已知?0 |x-a|? |y-b|?, 求证: |2x+3y-2a-3b|5?. 证明: |2x+3y-2a-3b| =|(2x-2a)+(3y-3b)| ?|2(x-a)|+|3(y- b)| =2|x-a|+3|y-b| 2?+3?=5? 故 |2x+3y-2a-3b|5? 求证：　　　　　　 例2 已知　　　　　　　　　　　　　　　　 证明： ②已知　　　 　求证　　　　　. 1．①已知 　　　　　　 ，求证 　　　　. ②　　　　　　　　　　 ①　　　　　　　　 　 2．已知 　　　　　　　， 求证： 例4 求证　　　　　　　　　　. 证明：在　　　　时，显然成立. 当　　　　时，左边 例5:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? 分析:如果生活区建于公路路碑的第x km处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x) km. 那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 故实际问题转化为数学问题: 当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值. 解:设生活区应该建于公路路碑的第xkm处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x) km,则: S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 我们先来考察它的图像: S(x)=2(|x-10|+|x-20|)= O x S 10 20 30 20 40 60 S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 60-4x 0x?10 20 10x?20 4x-60 x20 S(x)=2(|x-10|+|x-20|) |x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x| ?|(x-10)+(20-x)|=10 当且仅当(x-10)(20-x)?0