2015-2016学年人教B版高中数学课件 选修2-2：第一章 导数及其应用 3.3《函数的最大(小)值与导数》.ppt

例4．设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(t0) （1）求f(x)的最小值h(t)； （2）若h(t)-2t+m对(0t2)恒成立，求实数m的取值范围． 单调递减 1 0 单调递增 极大值 有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数． 教师提问： 本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答： 1．知识： （1）极值与最值的区别与联系： （2）利用导数求函数的最值的步骤： 2．思想：归纳概括思想、数形结合思想． 教师总结：在学习新知时也用到了前面所学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用． D A A 必做题: 4.函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为（ ) (A)-4 (B)0 (C)16 (D)20 C 1.函数 y = x3 + 3 x2－9x在 [－4 , 4 ]上的最大值为 , 最小值为 . 分析: (1) 由 f ′(x)=3x2 +6x－9=0, (2) 区间[－4 , 4 ]端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76 得x1=－3，x2=1 函数值为f (－3)=27, f (1)=－5 76 -5 当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表： x -4 (-4,-3) -3 (-3,1) 1 (1,4) 4 y′ + 0 - 0 + 0 y 20 27 -5 76 比较以上各函数值，可知函数在［－4 , 4 ］上的最大值为 f (4) =76，最小值为 f (1)=－5 选做题: 反思：本题属于逆向探究题型 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 3. 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值. 故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2 解法二: f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2 x 1 （1，2） 2 （2，5） 5 y， 0 y - + 3 11 2 解法一:将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理 亿万 * 1.3.3 函数的最大（小）值与导数 函数的最大（小）值与导数 内容：利用导数研究函数的最大（小）值 应用: 1.求函数的最大值和最小值 2.已知函数的最值求函数的解析式 3.利用导数和不等式恒成立问题求参数的取值范围. 本课主要学习利用导数研究函数的最大（小）值。以视频世界上最长的荡秋千线最高、最低点引入新课。通过合作交流，使学生发现并掌握极值与最值的区别与联系，感受领会从数到形的探究过程。接着讲述某函数在一个确定的闭区间上存在最值的条件。针对定理所解决的三类问题给出4个例题和变式，通过解决问题巩固新知，强调利用导数研究函数最值问题的重要性。 在讲述利用导数研究函数最值时，采用例题与变式结合的方法，通过例1、例2和变式巩固掌握求已知函数在闭区间的最值的方法。例3及变式，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力；而例4是与函数最值有关的恒成立问题，说明思路的由来过程，开阔了学生的思路． 通过观看视频，大家一起讨论一下荡秋千线最高、最低点问题. 世界上最长的荡秋千线最高、最低点 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f (x)0 f (x)0 问题1：函数单调性与导数关系 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导， f(x)为增函数 f(x)为减函数 问题2：函数的极大（小）值的概念 设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； ◆函数的极大值与极小值统称 为极值. 使函数取得极值的点x0称为极值点 （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f’(x) （3）求方程f’(x)=0的根,找到临界点 （4）解不等式并列成表格 （5）求出极值 问题3:求函数的极值的方法与步骤 左正右负极大值，左负右正极小值 x o