3.2_空间向量解决立体几何三角问题.ppt

空间向量解决立体几何夹角问题 向量的有关知识： 两向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉 两向量夹角公式：cos 〈a,b〉 = 直线的方向向量：与直线平行的非零向量 平面的法向量：与平面垂直的向量 空间“夹角”问题 1.异面直线所成角 l m l m 若两直线 所成的角为 , 则 例1 解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： 所以： 所以 与 所成角的余弦值为 练习： 在长方体 中， 二面角的平面角 ①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角 的大小为 其中AB D C L B A 注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角 L 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ， 则二面角 的大小 ＝〈 〉 若二面角 的大小为 , 则 ②法向量法 二面角的平面角 例2 正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。 C A D B C1 B1 A1 解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则 C(0,0,0) 故 则可设 =1， ，则B(0,1,0) y x z C A D B C1 B1 A1 F E 作 于E, 于F， 则〈 〉即为二面角 的大小 在 中， 即E分有向线段 的比为 由于 且 ，所以 在 中，同理可求 ∴ cos〈 〉= ∴ 即二面角 的余弦值为 y x z C A D B C1 B1 A1 F E 解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面yoz中 设面 的一个法向量为 同法一，可求 B(0,1,0) ∴ 可取 ＝(1,0,0)为面 的法向量 ∴ y x z C A D B C1 B1 A1 由 得 解得 所以，可取 二面角 的大小等于〈 〉 ∴ ∴ cos〈 〉= 即二面角 的余弦值为 方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角 A B n 2. 线面角 设n为平面 的法向量，直线AB与平面 所成的角为 ，向量 与n所成的角为 ， 则 n 而利用 可求 ， 从而再求出 2. 线面角 l 设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( ),则 总结归纳 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形）