3.2向量及其线性组合1.ppt

一、向量及其线性运算 二、向量组的线性组合 三、小结 有关 n维向量空间 叫做 维向量空间． 叫做 维向量空间　 中的 维超平面． 时， 维向量没有直观的几何形象． 确定飞机的状态，需要以下6个参数： 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 机身的水平转角 机身的仰角 机翼的转角 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 维向量的实际意义 向　　量 解析几何 线性代数 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 几何形象：　可随意 平行移动的有向线段 代数形象：　向量的 坐　标　表　示　式 坐标系 空　　间 解析几何 线性代数 点空间：点的集合 向量空间：向量的集合 坐标系 代数形象：　向量空 间　中　的　平　面 几何形象：　空间 直线、曲线、空间 平面或曲面 一　一　对　应 向量在生产实践与科学研究中有广泛应用． 思考题 　　若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用． 　　　　　　　　如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加． 答　36维的． 思考题解答 P159 3.(2) 6.(1)(2) 7. 8. 作业 第二节 向量与向量组 的线性组合 二、向量组的线性组合 一、向量及其线性运算 三、小结、思考题 n维向量 : 称为列向量 定义3.1 1.向量的定义 写成一列的 n 维向量, 称为列向量, 也就是列矩阵, 通常用a, b, ?, ? 等表示, 如: 例 若 则?1, ?2, ?3, ?4都是列向量. 若 则?1T, ?2T 都是行向量. 1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作 列向量. 注： 写成一行的 n 维向量, 称为行向量, 也就是行矩阵,通常用aT, bT, ?T, ?T 等表示. 如， 零向量： 注：维数不同的零向量是不相同的。 负向量： 向量相等： 2.向量的线性运算 定义3.2 即 （1）向量的加法 （2）向量的数乘 定义3.3 减法 向量的线性运算 向量加法及向量数乘两种运算，统称为向量的线性运算. 3. n维向量空间 定义3.4 所有 维实向量的集合记为 ，即 ，我们称 它是指在 是n维向量空间， 运算，并且 中定义了加法及数乘 并且这两种运算满足一下8条规律： 4. 向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组. 例 由 构成的向量组?1, ?2, ?3, ?4为列向量组. 由 构成的向量组?1T, ?2T为行向量组. （1）任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成一个矩阵. n个m维列向量所组成的列向量组 构成一个 m?n 矩阵 说明： m个n维行向量所组成的向量组?1T, ?2T,···, ?mT 构成一个m?n矩阵 （2）任何一个矩阵都可以构成一个向量组. 例 一个m×n矩阵A 其全体列向量构成一个含有n个m维列向量的向量组 称其为矩阵A的列向量组. 其全体行向量构成一个含有 m个n维行向量的向量组 称其为矩阵A的行向量组. （3）线性方程组的向量表示. 因此线性方程组的矩阵形式 利用矩阵乘法，上述方程组可表示为 利用分块矩阵及其乘法，得 将上述矩阵进行相应分块， 以后要熟悉线性方程组的这两种表示形式： 从而得到线性方程组的向量表示为 矩阵表示 向量表示 设某市有三家肯得基店，各店出售的汉堡、炸薯条、可乐的价格为10、5、2.5（元），且各店一天的销售量分别如下表，计算各店一天的总销售额（元）。 例 定义3.5 给定向量组A: a1, a2, ··· , am和向量b, 如果存在一组数?1, ?2, ···,?m, 使 b = ?1a1 + ?2a2 + ··· + ?mam 则称向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量组A线性表示. 由定义可知： 若向量b能由向量组A线性表示，则 即线性方程组 有解 定理3.3 向量b能由向量组A: a1, a2, ···, am线性表示 矩阵A=(a1, a2, ···, am)的秩等于矩阵B=(a1, a2, ···, am, b)的秩. 注：判定b是否能由 a1, a2, ···, am线性表示的方法： 对B进行初等行变换，使其化成行阶梯形矩阵，若R(A)=R(B)