3.4 函数的单调性与凹凸性判别.ppt

思考与练习 2. 曲线 例 解 拐点 拐点 不存在 定义域为 (1) (2) (3) 列表 函数的单调性与曲线的凹凸性 例 解 拐点的第二充分条件 例 解 函数的单调性与曲线的凹凸性 讨论 曲线y?x4是否有拐点？ 例 解 二阶导数无零点; 当x?0时, 二阶导数不存在? 因为当x0时? y??0? 当x0时? y??0? 所以点(0? 0)是曲线的拐点? 只有f ??(x0)等于零或不存在, (x0, f(x0))才可能是拐点. 如果在x0的左右两侧f ??(x)异号, 则(x0, f(x0))是拐点. 虽然y??(0)?0, 但(0,0)不是拐点. O x y y=x4 函数的单调性与曲线的凹凸性 例 求曲线y?3x4?4x3?1的拐点及凹、凸的区间? 解 (1)函数y?3x4?4x3?1的定义域为(??? ??)? (4)列表判断? 在区间(???0]和[2/3???)上曲线是凹的; 在区间[0?2/3]上曲线是凸的? 点(0? 1)和(2/3? 11/27)是曲线的拐点? (??? 0) 0 (0? 2/3) 2/3 (2/3? ??) ＋ － ＋ 0 0 1 11/27 y??(x) y(x) x 只有f ??(x0)等于零或不存在, (x0, f(x0))才可能是拐点. 如果在x0的左右两侧f ??(x)异号, 则(x0, f(x0))是拐点. 函数的单调性与曲线的凹凸性 例 求曲线y?3x4?4x3?1的拐点及凹、凸的区间? 在区间(???0]和[2/3???)上曲线是凹的; 在区间[0?2/3]上曲线是凸的? 点(0? 1)和(2/3? 11/27)是曲线的拐点? 只有f ??(x0)等于零或不存在, (x0, f(x0))才可能是拐点. 如果在x0的左右两侧f ??(x)异号, 则(x0, f(x0))是拐点. 证 法一 用单调性证. 法二 用凹凸性证. 例 设 则 即 函数的单调性与曲线的凹凸性 函数的单调性与曲线的凹凸性 五、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 单调性的应用: 改变弯曲方向的点: 凹凸性; 拐点; 利用函数的单调性可以确定某些方程实根 的个数和证明不等式. 研究曲线的弯曲方向: 凹凸性的应用: 利用凹凸性证明不等式. 证 只要证 令 则 所以 即 有 得 思考题 函数的单调性与曲线的凹凸性 上 则 或 的大小顺序是 ( ) 提示: 利用 单调增加 , 及 B 1. 设在 函数的单调性与曲线的凹凸性 . 的凹区间是 凸区间是 拐点为 提示: 及 ; ; 函数的单调性与曲线的凹凸性 作业 习题3-4(151页) 3.(1) (3) (5)(7) 4.(2)(4) (5) 5. 函数的单调性与曲线的凹凸性 7.(1)(3) 8.(2) (4)(6) 11. 12. 14 有位于一直线的三个拐点. 1.求证曲线 证明： 备用题 函数的单调性与曲线的凹凸性 令 得 从而三个拐点为 因为 所以三个拐点共线. 函数的单调性与曲线的凹凸性 * 中值定理与导数的应用 函数单调性的判别法 单调区间求法 小结 思考题 作业 §3.4 函数的单调性 与曲线的凹凸性 曲线凹凸性的判别法 曲线的拐点及其求法 第三章 微分中值定理与导数的应用 f ?(x)0 f ?(x)0 观察结果 函数单调增加时导数大于零? 函数单调减少时导数小于零? 观察与思考 函数的单调性与导数的符号有什么关系？ 一、函数单调性的判定法 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a? b]上连续? 在(a, b)内可导? (1)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调增加? (2)如果在(a? b)内f ?(x)0? 则f(x)在[a? b]上单调减少? 此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确. 注 定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a? b]上连续? 在(a, b)内可