九年级数学“数形结合”在解数学压轴题中的作用.docVIP

“数形结合”在解数学压轴题中的作用 一般性数学试卷的最后一题在测试学生的数学素养的基础上，本着适度区分的原则，最后一题的三个小题的坡度逐渐提升，达到分层的效果．这些试题一般性取材于课本但高于课本，强调知识的灵活运用，综合性较强，原创题较少，大多属于改编体，它们的基本图形在几何画板中加以研究，达到推陈出新的效果，绝大多数属于改编题．下面以08年静安、杨浦两区模拟考最后一题为例，进行归纳分析．它们的难度略低于中考的压轴题． 例1．（08静安）如图，在四边形ABC D中，∠B=90°，AD//BC，AB=4，BC=12，点E在边BA的延长线上，AE=2，点F在BC边上，EF与边AD相交于点G，DF⊥EF，设AG=x, DF=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （2）当AD=11时，求AG的长； （3）如果半径为EG的⊙E与半径为FD的　　　　 ⊙F相切，求这两个圆的半径． 分析：本题以直角梯形为载体，第1小题梯形结合相似形知识来研究两条线段的数量关系，探求函数关系式和定义域;第2小题在研究特殊情况下知道函数值AD=11求自变量AG的值，第三小题结合圆的内容以两圆相切（外切和内切）这一知识点来压轴．其实如果学生基础扎实，利用两圆相切关系建立等式：当⊙E与⊙F外切时，EF=EG+FD=EG+FG，当⊙E与⊙F内切时，EF= FD–EG，相关的量都用含自便量的代数式来表示，从而利用关系等式建立方程，解方程求出自便量的值，再求出两个圆的半径，考察了方程思想． 略解：（1）∵AD//BC，∠B=90o，∴∠EAG=∠B=90o，∴EG=∵ ∴FG=． ∵∠DFG=∠EAG=90o，∠EGA=∠DGF， ∴△DFG∽△EAG．∴，∴，∴y关于x的函数解析式为，定义域为． （2）∵△DFG∽△EAG，∴∴GD=． 当AD=11时，， ．经检验它们都是原方程的根，且符合题意，所以AG的长为1或． （3）当⊙E与⊙F外切时，EF=EG+FD=EG+FG，∴FD=FG，∵△DFG∽△EAG， ∴∠E=∠AGE=∠FGD=∠GDF．∴AG=AE=2； ∴⊙E的半径EG=，⊙F的半径FD=．当⊙E与⊙F内切时，EF= FD–EG，∴3，∴ ∴⊙E的半径EG=，⊙F的半径FD=． 所以⊙E的半径为2，⊙F的半径为4；或⊙E的半径为，⊙F的半径为4． 例2．（08杨浦）如图，Rt△ABO在直角坐标系中，∠ABO=900，点A（-25，0），∠A的正切值为，直线AB与y轴交于点C． （1）求点B的坐标； （2）将△ABO绕点O顺时针旋转，使点B落在x轴正半轴上的B/处。试在直角坐标系中画出旋转后的△A/B/O，并写出点A/的坐标； （3）在直线OA/上是否存在点D，使△COD与△AOB相似，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：本题以直线(一次函数)为载体，它与坐标轴的结合镶嵌了 母子直角三角形在内，结合三角比知识求 点B的坐标就构成了第一小题; 第二小题结合我们 上海考题的一贯特色，图形三大运动之一旋转来 考察学生的画图能力，直接写出坐标则秉承了上海 06年中考24题的一贯分格，只不过06年的24题以二次函数为载体；第三小题则结合了相似形只是考察分类讨论的数学思想和方程思想．其实这种习题如果学生留意一下,就会成为傻瓜题,不管是否结合坐标系背景,只要是文字语言叙述的存在性问题,都会保证一个字母相同(提供一个相等的角)分两种情况；如果没有相同字母时一定会隐藏相等的叫在里面，分类讨论的方法相同,如挖掘出∠A=∠COA/当或时,第1、2比例项不变，第3、第4比例项调换位置，最多时有三个答案． 略解：（1）易得B（－16，12）（2）正确画图A/（20，15）（3）在Rt△AOC中，AO=25，tgA=，∴OC=设OA/的解析式为y=kx，则15=20k，则k=，∴y=x ∵△ABO旋转至△A/B/O，∴∠AOB=∠A/OB/，∵∠AOB+∠A=900，∠COA/+∠A/OB/=900，∴∠A=∠COA/∴在直线OA/上存在点D符合条件，设点D的坐标为（x，x），则OD= 当即，也即x=16时，△COD与△AOB相似，此时D（16，12） 当即，即x=时△COD与△AOB相似，此时D（）． 1．对于两类压轴题的对比分析 图 形 (1) (2) 共同点 代数、几何的高度综合（数形结合）； 着力于数学本质及核心内容的考查; 四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数 不 同 点 以形为载体，研究数量关系 以数为平台，研究形的特征 通过设、表、列获得函数关系式 通过方程思想确定点的坐标或函数关系式 研究特殊情况下的函数值 研究特殊图形的存在性 我市今年各区最后两题