圆锥曲线轨迹方程的求法..doc

圆锥曲线轨迹方程的求法 用直接法求轨迹方程 利用动点运动的条件作出等量关系，表示成x,y的等式。 例：已知点A(-2,0),B(3,0).动点P(x,y)满足 PA· PB =x2,则点P的轨迹是（ ）. A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解： PA=（-2-x,-y）, PB=(3-x,-y), PA· PB=x2 则（-2-x）（3-x）+(-y)(-y)=x2 整理得：y2=x+6 所以P点的轨迹为抛物线。 答案:D. 有定义法求轨迹方程 根据圆锥曲线的基本定义解题。 例：如图，已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M为圆O上的任意一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹方程（ ） A.+=1 B. －=1 C.+ =1 D. - =1 解：由于P为AM的垂直平分线上的点，|PA|=|PM| 所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10|OA|=6 根据椭圆的定义知:P点轨迹方程为+=1. 解答：A 用相关点法求轨迹方程 当动点M随着已知方程的曲线上另一动点C（x0,y0）运动时，找出点M与点C之间的坐标关系式，用（x,y）表示（x0,y0）再将x0,y0代入已知曲线方程，即可得到点M的轨迹方程。 例：如图所示从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程. 解:设动点P的坐标为(x,y)，点Q的坐标为（x1,y1），则N点的坐标为（2x-x1,2y-y1）. ∵N点在直线x+y=2上，∴2x-x1+2y-y1=2 ① 又∵PQ垂直于直线x+y=2,∴=1即x-y+y1-x1=0 ② ①②联立得：x1=x+y-1,x2=x+y-1 又∵点Q在双曲线上，∴x12-y12=1 ③ 将x1,x2代入③中，得动点P的轨迹方程式为 2x2-2y2-2x+2y-1=0 即B(2pk2, -2pk) ∴OB=(2pk2, -2pk),OA=(, ) OM= OA+ OB =(+2pk2, -2pk)所以有 x=2p(-k)2 +4p, y=2p(-k) 消去(-k)得：y2=2p(x-4p)(p0) 即求得M点的轨迹方程。 注:在利用参数法求解时,要选择合理的参数,同时要注意参数的取值范围. 除上述四种常用求曲线轨迹方程方法外,我们还介绍两种重要的求解方法. 一.几何法 二.交轨法 1.几何法求解.(利用平面几何或解析几何中的图形性质) 例:已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是( ). A.－=1(x≠0) B .+=1(x≠0) C. －=1(y≠0) D .+=1(y≠0) 解:如图所示,根据题意及抛物线的图形性质有:令焦点为P. 则有|BP|=|BE| |AP|=|AG| 所以|BP|+|AP|=|BE|+|AG|=2|OF| 由|OP|=2知|BP|+|AP|=4=2a 所以a=2,方程为+=1 且焦点不在AB直线上,所以y≠ 0. 解答:D 2.用交轨法来求轨迹方程.(一般用于两动曲线交点的轨迹方程,其过程是选出一个适当的参数,求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程) 例:如图所示,垂直于x轴的直线交直线交双曲线－=1 于MN两点，A1，A2为双曲线的顶点，求直线A1M与A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹形状. 解:设M(x1,y1)则N（x1,-y1）,P(x,y),A1(-a,0),A2(a,0) 则A1M的方程为y=(x+a), A2N的方程为y=- (x-a) 将以上两方程联立得y2=(x2-a2) 由于－=1, 得+=1 当a=b时，点P的轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆. 当a≠b时，点P的轨迹为椭圆.