全国名校高考专题训练09立体几何(解答题2).doc

全国名校高考专题训练09立体几何（解答题2) 31、如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。 （1）求证：AB⊥平面PCB； （2）求二面角C—PA—B的大小的余弦值。 （1）解：∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC， ∴PC⊥AB。 ∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB， ∴CD⊥AB。 又PC∩CD＝C， ∴AB⊥平面PCB。 （2）解法一： 取AB的中点E，连结CE、DE。 ∵PC＝AC＝2，∴CE⊥PA，CE＝ ∵CD⊥平面PAB， 由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA。 ∴∠CED为二面角C—PA—B的平面角。 由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC， 又∵AB＝BC，AC＝2，求得BC＝ （2）解法二： ∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，过点B作直线l∥PA， 则l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直线为x、y、 z轴建立空间直角坐标系（如图）。…………6分 设平面PAB的法向量为 得 …………8分 设平面PAC的法向量为， 解得 …………10分 …………11分 …………12分 （2）解法三： ∵CD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量。 取AC中点F，∵AB＝BC＝，∴BF⊥AC， 又PC⊥平面ABC，有平面PAC⊥平面ABC， ∴BF⊥平面PAC，∴是平面PAC的一个法向量。 …………7分 …………9分 …………10分 32、，EF＝EC＝1， ⑴求证：平面BEF⊥平面DEF； ⑵求二面角A－BF－E的大小。 解法1：⑴ ①证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC， ∴EC⊥平面ABCD；连接BD交AC于点O，连接FO， ∵正方形ABCD的边长为，∴AC＝BD＝2； 在直角梯形ACEF中，∵EF＝EC＝1，O为AC中点， ∴FO∥EC，且FO＝1；易求得DF＝BF＝， DE＝BE＝，由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF， ∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角， 由BF＝DF＝，BD＝2可知∠BFD＝， ∴平面BEF⊥平面DEF ………………（6分） ⑵取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN， ∵AB＝BF＝AF＝，∴AM⊥BF， 又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF， ∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。 易求得，； 在Rt△中，可求得， ∴在△中，由余弦定理求得， ∴ ……………………………（12分） 解法2：⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD； 建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则 ,,,, ∴，，…(2分) 设平面BEF、平面DEF的法向量分别为 ，则 ① ②， ③, ④. 由①③③④解得,∴,…（4分） ∴，∴，故平面BEF⊥平面DEF…………（6分） ⑵设平面ABF的法向量为，∵， ∴，，解得 ∴，………（8分）∴……（10分） 由图知，二面角A－BF－E的平面角是钝角，故所求二面角的大小为 33、的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求直线与平面所成的角； （Ⅲ）求点到平面的距离. 解法一：（Ⅰ）设与交点为，延长交的延长线于点， 则，∴，∴，∴， 又∵，∴， 又∵，∴， ∴，∴ 又∵底面，∴，∴平面， ∵平面，∴平面平面…………………………………（4分） （Ⅱ）连结，过点作于点， 则由（Ⅰ）知平面平面， 且是交线，根据面面垂直的性质， 得平面，从而即 为直线与平面所成的角. 在中，， 在中， . 所以有， 即直线与平面所成的角为…………………………………（8分） （Ⅲ）由于，所以可知点到平面的距离等于点到平面的距离的，即. 在中，， 从而点到平面的距离等于………………………………………………（12分） 解法二：如图所示，以点为坐标原点， 直线分别为轴， 建立空间直角坐标系， 则相关点的坐标为 ，，，. （Ⅰ）由于，， ， 所以， ， 所以， 而，所以平面，∵平面， ∴平面平面……………………………………………………………（4分） （Ⅱ）设是平面的一个法向量，则， 由于，，所以有 ， 令，则，即， 再设直线与平面所成的角为，而， 所以， ∴，因此直线与平面所成的角为………………（8分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，而， 所以点到平面的距离为 34、如图，已知四棱锥的底面是正方形，⊥底面，且，点、分别在侧棱、上，且 （Ⅰ）求证：⊥平面； （Ⅱ）若，求平面与平面的所成锐二面角的大小 解：（Ⅰ）因为四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD， 则CD⊥侧面PAD 又 又…………