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全国名校高考专题训练09立体几何(解答题1)
全国名校高考专题训练09立体几何(解答题1)
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)(本小题满分12分)如图,直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3,底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中点.
(1)求二面角O1-BC-D的大小;
(2)求点E到平面O1BC的距离.
解法一:
(1)过O作OF⊥BC于F,连接O1F,
∵OO1⊥面AC,∴BC⊥O1F,
∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角,………………3分
∵OB=2,∠OBF=60°,∴OF=.
在Rt△O1OF在,tan∠O1FO=
∴∠O1FO=60° 即二面角O1—BC—D为60°………………6分
(2)在△O1AC中,OE是△O1AC的中位线,∴OE∥O1C
∴OE∥O1BC,∵BC⊥面O1OF,∴面O1BC⊥面O1OF,交线O1F.
过O作OH⊥O1F于H,则OH是点O到面O1BC的距离,………………10分
∴OH=∴点E到面O1BC的距离等于………………12分
解法二:(1)∵OO1⊥平面AC,
∴OO1⊥OA,OO1⊥OB,又OA⊥OB,………………2分
建立如图所示的空间直角坐标系(如图)
∵底面ABCD是边长为4,∠DAB=60°的菱形,
∴OA=2,OB=2,
则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),O1(0,0,3)………………3分
设平面O1BC的法向量为=(x,y,z),
则⊥,⊥,
∴,则z=2,则x=-,y=3,
∴=(-,3,2),而平面AC的法向量=(0,0,3)………………5分
∴cos,=,
设O1-BC-D的平面角为α, ∴cosα=∴α=60°.
故二面角O1-BC-D为60°. ………………6分
(2)设点E到平面O1BC的距离为d,
∵E是O1A的中点,∴=(-,0,),………………9分
则d=∴点E到面O1BC的距离等于。……………12分
2、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)如图在三棱锥S中,,,,。
(1)证明。
(2)求侧面与底面所成二面角的大小。
(3)求异面直线SC与AB所成角的大小。
解:(1)∵∠SAB=∠SCA=900
(2)
(3)
3、(江苏省启东中学高三综合测试二)在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠B=90°,D为AC中点,E为BD的中点,AE的延长线交
BC于F,将△ABD沿BD折起,二面角A-BD-C大小记为θ.
(Ⅰ)求证:面AEF⊥面BCD;
(Ⅱ)θ为何值时,AB⊥CD.
解:(Ⅰ)证明:在Rt△ABC中,∠C=30°,D为AC的中点,则△ABD是等边三角形
又E是BD的中点,∵BD⊥AE,BD⊥EF,折起后,AE∩EF=E,∴BD⊥面AEF
∵BD面BCD,∴面AEF⊥面BCD
(Ⅱ)解:过A作AP⊥面BCD于P,则P在FE的延长线上,设BP与CD相交于Q,
令AB=1,则△ABD是边长为1的等边三角形,若AB⊥CD,则BQ⊥CD
由于∠AEF=θ就是二面角A-BD-C的平面角,
4、(江苏省启东中学高三综合测试三)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60(的角,AA1=2,底面ABC是边长为2的正三角形,其重心为G点,E是线段BC1上一点,且BE=BC1。
(1)求证:GE∥侧面AA1B1B;
(2)求平面B1GE与底面民ABC所成锐二面角的大小。
答案:(1)略;(2)arctan (arccos)
5、(江苏省启东中学高三综合测试四)如图, 正方形ABCD和ABEF的边长均为1,且它们所在的平面互相垂直,G为BC的中点.
(Ⅰ)求点G到平面ADE的距离;
(Ⅱ)求二面角的正切值.
解:(Ⅰ)∵BC∥AD, AD面ADE,
∴点G到平面ADE的距离即点B到平面ADE的距离.
连BF交AE于H,则BF⊥AE,又BF⊥AD.
∴BH即点B到平面ADE的距离.
在Rt△ABE中,.
∴点G到平面ADE的距离为.
(Ⅱ)过点B作BN⊥DG于点N,连EN,
由三垂线定理知EN⊥DN.
∴为二面角的平面角.
在Rt△BNG中,
∴
则Rt△EBN中,
所以二面角的正切值为.
6、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)如图,已知面,,
;
(1)在面上找一点M,使面。
(2)求由面与面所成角的二面角的正切
解:(1)M为PC的中点,设PD中点为N,
则MN=CD,且MN//CD,∴MN=AB,MN//AB
∴ABMN为平行四边形,∴BM//AN,
又PA=AD,∠PAD=900
∴AN⊥PD,
又CD⊥AN,∴AN⊥面PCD,∴BM⊥面
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