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初三数学函数、方程、不等式综合知识精讲
初三数学函数、方程、不等式综合
【本讲主要内容】
函数、方程、不等式综合
包括函数、方程、不等式之间的联系,以及综合应用函数、方程、不等式解数学题。
【知识掌握】
【知识点精析】
1. 二次函数、二次方程、二次不等式之间的联系
若二次函数中,令y=0,则得,于是二次函数变成了二次方程。
令,则得到或,于是二次函数变成了二次不等式。
2. 二次函数、二次方程、二次不等式的图象表示
a0
a0
【解题方法指导】
例1. (2003年天津)
已知抛物线,求证:该抛物线与x轴一定有两个交点。
分析:可令y=0,变成一元二次方程,判断Δ是否大于0。
解:令y=0,得关于x的方程
∴方程有两个不相等的实数根
即抛物线与x轴一定有两个交点
评析:此题的解法是将二次函数转化为一元二次方程,通过判断方程根的个数加以解决的。此题也可以画出抛物线的图象作出判断。
例2. 已知:二次函数
(1)问抛物线与x轴是否有交点?
(2)若有交点,什么情况下图象在x轴上方,在x轴下方,在x轴上?
分析:(1)可先将二次函数转化为二次方程,再用判别式判断;(2)可先求出一元二次方程的根,画出抛物线的示意图,然后结合图象作出判断。
解:(1)令y=0,得
∴方程有两个不等实根
即抛物线与x轴有两个交点
(2)解
的二次项系数0
∴抛物线开口向上,它的示意图如图所示
∴当时,它的图象在x轴上方;
当时,它的图象在x轴下方;
当时,它的图象在x轴上。
评析:令,使二次函数转化为二次方程,再判断抛物线与x轴是否有交点,这种方法比较简便;要判断抛物线的图象在x轴上方、下方及在x轴上,结合图象判断比较方便。
如果利用解不等式组,同样可以解决:
因此
其余照此方法解决即可。
例3. 试求的最大值或最小值。
分析:由于x2的系数为-1,小于零,所以抛物线的开口向下,因此必有最大值,再设法求出最大值。
解:令y=0,则得
∴抛物线和x轴只有一个交点,即(1,0)
评析:二次函数有无最大值或最小值,是由开口方向决定的,而开口方向又由a0或a0来决定的。
【考点突破】
【考点指要】
一元二次方程,二次函数是重要的数学知识,而它们之间的联系,对考查同学综合运用知识的能力很有好处,因此在中考的试题中经常用到,而且把不等式的解法也运用进来,更体现出数学知识的内涵丰富。但在解题时,要根据题目的特点,选用合适的方法,使解法更为简捷。
【典型例题分析】
例1. (2002年上海)
已知:二次函数,其中m为实数
(1)求证:不论m取何实数,这个二次函数的图象与x轴必有两个交点;
(2)设这个二次函数的图象与x轴交点为A(x1,0),B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。
分析:(1)只要判断出Δ0即可。(2)关键是求出m的值,二次函数便可求出,而求m的值需先将所给的二次函数转化为二次方程,再由一元二次方程根与系数的关系,以及列出方程,求出m的值。
解:(1)令y=0,得
∴方程必有两个不相等的实数根
∴不论m取何值,该二次函数与x轴必有两个交点
(2)∵x1、x2是方程的两个实数根
∴
∴所求二次函数的解析式为
评析:在解此题时,无论是要运用根与系数关系,或根的判别式,都要先将二次函数改为二次方程,不能说由得,。
例2. (2003年苏州)
已知抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)()
(1)求a的取值范围,并证明A、B两点都在原点O的左侧;
(2)若抛物线与y轴交于点C,且OA+OB=OC-2,求a的值。
分析:(1)先将二次函数转化为二次方程,由判别式Δ0求出a的取值范围;再由A、B两点横坐标的符号决定它在原点的哪一侧。
(2)由A、B两点在原点的左侧,得出x10,x20,再由方程OA+OB=OC-2,求出a的值。
解:(1)∵抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且
令y=0,得
而
∴x1,x2必同为负数
∴A点
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