初三数学运用解直角三角形的知识解决简单的实际问题人教实验版.docVIP

初三数学运用解直角三角形的知识解决简单的实际问题人教实验版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 运用解直角三角形的知识解决简单的实际问题 二. 重点、难点： 1. 学习如何分析问题，从实际问题中抽象出数学问题，画出图形表示基本关系。 2. 解直角三角形知识的灵活运用。 3. 一些基本名词——仰角、俯角、坡角的正确理解与应用。 4. 联系实际解决问题的能力。 【典型例题】 例1. 如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400米，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°，求山高CD（精确到0.01米）。 解：（1）过C作CE//AD，则∠ECB=60° 过B作BF⊥CD交F BG⊥AD于G ∴∠BCF=30° 在Rt△AGB中：∠BAG=30° AB=400米 则BG=AB·sin30°=400×=200（米） 在Rt△CFB中：∠BCF=30°，BC=320米 则CF=BC·cos30°=320×（米） ∴山高CD=CF+FD=CF+BG （米） 小结：（1）俯角是视线与水平线的夹角 （2）山坡的坡角是水平线与山坡的夹角 （3）牢记：，在进行近似计算时常常用到。 （4）注意转化：，则有 ，则有 例2. 某风景区内有一古塔AB，在塔的北面有一建筑物，冬至日的正午光线与水平面的夹角是30°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD；而在春分日正午光线与地面的夹角是45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C有15米的距离（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度（结果保留根号）。 分析：①要从实物问题中抽象出几何图形。 ②注意明确30°、45°的角是哪个角，哪里表现的是影长。 ③利用解Rt△知识解决问题时 解：过点D作DF⊥AB，垂足为F ∴AB⊥BC，CD⊥BC ∴四边形BCDF是矩形 ∴BC=DF，CD=BF 设AB=x米 在Rt△ABE中 ∠AEB=∠BAE=45° ∴BE=AB=x 在Rt△ADF中 ∠ADF=30°，AF=AB-BF=x-3，又 ∴DF=AF÷tan30°= ∵DF=BC=BE+EC 解得 答：塔AB的高度是米。 小结：（1）在复杂图形中识别出基本的直角三角形是关键。 （2）牢记含30°角、45°角的直角三角形三边关系可以提高解题速度，简化解题过程。 （3）在解Rt△中，常常运用方程求解。 例3. 如图所示，大楼AD的高为10m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B点处的仰角为60°，爬到楼顶D点处测得塔顶B点的仰角为30°，求塔BC的高度。 分析：正确理解仰角的概念——视线与水平线的夹角。 解：如图所示。 ∵四边形ACED是矩形 ∴AD=CE，DE=AC，∠DEB=∠ACB=90° 设BE=x，则BC=CE+BE=AD+BE=10+x ∵在Rt△BDE中，∠EDB=30° 则 ∴ ∵在Rt△ABC中，∠CAB=60° ∴，则 即： ∴BC=15（米） 答：塔BC的高度是15米。 小结：（1）在多个Rt△中求解时，要注意它们相互之间的关系。 （2）同一条线段用不同的代数式去表示，就可以构造方程，如BC=BE+EC。 例4. 为保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在相距20海里的A、B两地设立观测站（海岸线是过A、B的直线），按国际惯例，海岸线以外12海里范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海，某日，观测员发现一外国船只行驶至P处，在A观测站测得∠BAP=63°，同时在B观测站测得∠ABP=34°，问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告，命令其退出我国领海？ （参考数据：sin63°，tan63°，sin34°，tan34°） 分析：要求出点P到AB的距离d 若d12，不需发出警告， 若d≤12，则要发出警告。 解：作PC⊥AB于C，设PC=x 在Rt△PAC中，∠PAC=63° ∴ 在Rt△PBC中，∠PBC=34° tan34°，∴BC ∵AC+BC=AB=20 ∴需要向其发出警告。 注意：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度。 小结：①结合实际问题要认清数量关系，正确运用三角函数求解。 ②理解题意，认真审题是解题的关键。 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°，已知测角仪器高CE=1.5m，CD=30m，求塔高AB。（答案保留根号） （2004年哈尔滨市） 2. 如图，在一街