初三数学锐角三角函数知识精讲.docVIP

初三数学锐角三角函数 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括：正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。即；把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即。 2. 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 4. 记忆方法： 【解题方法指导】 例1. （2000年成都市）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，D是AC的中点，那么tan∠DBC的值是________。 分析：在Rt△ABC中，由∠ABC＝60°，可知，即AC＝BC，又CD＝AC，tan∠DBC可求。 解：在△ABC中， ∵∠C＝90°，∠ABC＝60°， ∴tan∠ABC＝tan60°＝， ∴AC＝BC。 又D是AC中点， ∴DC＝AC＝BC。 ∴。 评析：在解题中紧紧扣住tanα的定义。 例2. （2001年四川）在Rt△ABC中 ，CD是斜边AB上的高，已知，那么______。 分析：由Rt△ABC中CD⊥AB于D，可得∠ACD＝∠B，由sin∠ACD＝，那么sinB＝，设AC＝2，AB＝3，则BC＝，则可求。 解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D， ∴∠ACD＝∠B。 又sin∠ACD＝sinB＝， 可设AC＝2，AB＝3， ∴BC＝。 ∴。 评析：这里利用图中相等的角，把sin∠ACD转化为sinB，而sin∠ACD＝，我们设AC＝2，AB＝3，求得BC＝。如果更一般化，可设AC＝2m，AB＝3m，则BC＝m，同样可以求出的值。 例3. （2004年北京市）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠B＝30°，CD＝6，求AB的长。 分析：图中有共三个直角三角形，都为应用锐角三角函数的定义创造了条件，已知∠B＝30°，CD＝6，则BC＝12，用cosB＝可求得AB，方法不唯一，可选择不同的方法去做。 解法一：在△BCD中，∵∠CDB＝90°， ∠B＝30°，CD＝6， ∴BC＝2CD＝12。 在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴cosB＝， ∴AB＝＝。 解法二：在△ABC中， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD＝∠B＝30°。 ∴cos∠ACD＝， ∴AC＝＝＝。 在△ABC中，sinB＝， ∴AB＝。 评析：此图是双垂直图形，直角本角形多，相等的角也多，可以用不同的思路去解。 【考点突破】 【考点指要】 锐角三角函数可以把直角三角形边之间的比转化为角的度数，因此作为一种解题工具，有着广泛的应用价值。无论是解直角三角形，还是有关几何图形的计算，都常常利用锐角三角函数加以解决。正因为锐角三角函数是一种解题工具，因此在中考时加大了检查的力度，我们应该熟练地掌握它，并学会应用。 【典型例题分析】 例1. （2002年北京市海淀区）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，sinB＝。求四边形ABCD的周长。 分析：由菱形的特征可知AB＝BC，由EC＝1，可没法找到BE与EC的联系，即EC＝BC－BE＝AB－BE＝1，可列出方程求解。 解：在Rt△ABE中，∵∠AEB＝90°，sinB＝＝， ∴设AE＝5k，AB＝13K。 ∴BE＝， 又AB＝BC＝13k， ∴BC－BE＝AB－BE＝EC， ∴13k－12k＝1，k＝1 ∴AB＝13，周长为52。 评析：此题图形并不复杂，但考查的知识却不少，而且通过设参数列出方程求解，很有寓意。因此在解题中，善于抓住直角三角形，把∠B的正弦与两边的比建立联系。 例2. （2005年沈阳市）如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝。则AB＝____。 分析：设法使∠B处于一个直角三角形中，以便于应用tanB＝的条件。可作CD⊥AB于D。求出AD，再求出DB，则AB可求。 解：作CD⊥AB于D。 ∵∠A＝30°，AC＝， ∴CD＝，∴AD＝。 ∵tanB＝， ∴， ∴DB＝2。 ∴AB＝AD+DB＝3+2＝5。 评析：遇到某个角的三角函数值后，设法“回忆题”，使它处于某一个直角三角形中，从而应用三角函数的定义解题。 例3（2005年沈阳市）在△ABC中，AB＝2，AC＝。∠B＝30°，则∠BAC的度数是_____。 分析：先画一个草图，找到条件中线段、角所处的位置，然后再考虑到有无特殊情况。比如，图1中的△ABC中，AB＝2，AC＝，∠B＝30°，作AD垂直于直线BC于D，则AD＝，则可求