初三数学锐角三角函数综合提高知识精讲.docVIP

初三数学锐角三角函数综合提高 【本讲主要内容】 锐角三角函数综合提高 包括锐角三角函数较为复杂的计算及应用 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 了解的推导过程。 2. 用三角函数证明：。 3. 有关图形的计算。 4. 用三角函数解决一些实际问题。 【解题方法指导】 例1. 设α是锐角，证明。 分析：构造一个直角三角形，设两个锐角分别为，用三角函数定义去推导。 解：画Rt△ABC，使∠C＝90°，设∠A＝α 则∠B ∵ ∴ 评析：此结论可以叙述为：一个角的正弦，等于它的余角的余弦，证明此类问题时，可以通过构造直角三角形加以解决。 例2. 设α是一个锐角，求证：。 分析：构造一个直角三角形，用三角函数和勾股定理去证。 解：构造一个直角三角形ABC，使∠C＝90°，∠A＝α 则 ∴ ∴ 由勾股定理，得 ∴ 评析：证明此题的前提是先学过了勾股定理。 例3. 在△ABC中，若，则△ABC是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 分析：由非负数的性质，求出∠A、∠B的度数，然后再作判断。 解：∵ ∴ ∵∠A、∠B是三角形的角 ∴∠A＝60°，∠B＝60° ∴∠C＝180°－60°－60°＝60° ∴△ABC是等边三角形 故选B 评析：由非负数的性质解三角函数题，实质上是一致的。 例4. 已知锐角α的正切值等于，求α的余弦值。 分析：构造一个直角三角形，由去求。 解：构造直角三角形ABC，使∠C＝90°，∠A＝α ∵ 设（k0） ∴ ∴ 评析：此题是由锐角α的正切值，求α的余弦值，设法将正切值转化为两边之比，求出第三边，再去求cosα的值，这种方法是一个通法。其他解法照此办理，比如，由，求，同样构造一个直角三角形解决。 例5. 设α是锐角，试比较与的大小。 分析：我们学过特殊角的三角函数，发现当时，，而，，发现。 又，则，可见应把α分作几种情况加以讨论。 解：（1）当时 ∵ ∴ 在△ABC中，∠C＝90° （2）当，则∠B45°，∴∠α∠β 由一个三角形中大角对大边 ∴ACBC ∴ ∵ACBC ∴ （3）当时，同样可知 【考点突破】 【考点指要】 有关三角函数的题目，考查基础知识的内容难度不大，但在解决几何图形的计算以及解决实际问题时，由于对于图形的转化能力弱，以及对实际问题不太熟悉，不能将它转化为数学问题，因此往往感到比较困难，需要有一个适应的过程。 【典型例题分析】 例1. 用三角函数的方法证明：等腰三角形两腰上的高相等。 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E。 求证：BD＝CE。 分析：欲证BD＝CE，由Rt△BCD和Rt△CBE，∠ABC＝∠ACB，可用三角函数找出线段的比，证出BD＝CE。 证明：∵AB＝AC ∴∠ABC＝∠ACB 又∠BDC＝90°，∠CEB＝90° ∴ ∵∠DCB＝∠EBC ∴sin∠DCB＝sin∠EBC ∴ ∴BD＝EC 评析：此题没有用全等三角形，而是借助于锐角三角函数，由两个角相等，得出它们的正弦相等，从而转化成线段的比，这种证法很巧妙。 例2. 已知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，∠A＝α。 求证：S平行四边形ABCD＝。 分析：由于平行四边形ABCD的面积×底×高，可作出一边上的高，然后再转化为另一边及∠A的关系。 证明：作DE⊥AB于E，设DE＝h 在Rt△ADE中 ∵ ∴ 又S平行四边形ABCD＝ah ∴S平行四边形ABCD＝ 评析：此题同样利用平行四边形ABCD的面积公式中的高转化为另一边与∠A的正弦的积加以解决。 例3. （2006年 呼和浩特市）如图，A、B是两座现代城市，C是一个古城遗址，C城在A城的北偏东30°，在B城的北偏西45°，且C城与A城相距120千米，B城在A城的正东方向。以C为圆心，以60千米为半径的圆形区域内有古迹和地下文物，现要在A、B两城市间修建一条笔直的高速公路。 （1）请你计算公路的长度（结果保留根号）。 （2）请你分析这条公路有没有可能对文物古迹造成损毁。 分析：这是一个实际问题，先要弄清题意，再将它转化成一个数学问题，解此题的关键是作CD⊥AB于D后，看看CD是否小于60千米，若小于60千米，则会造成损毁；若大于60千米，则没有损毁。 解：（1）作CD⊥AB于D 在Rt△ACD中 ∵∠CAD＝90°－30°＝60° ∴ ∴ 在Rt△BCD中 ∵∠CBD＝∠B