函数中的相似.docx

1如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以为半径作圆，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，二次函数的图象经过点A、B、C，顶点为E.（1）求此二次函数的表达式；（2）设∠DBC＝，∠CBE＝，求sin（－）的值；（3）坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）为圆心，半径为∴∴………………………1分设二次函数的表达式为解得：∴二次函数表达式为整理成一般式为………………………2分（2）过点E作EF⊥y轴于点F∴可得点E为二次函数的顶点∴点E的坐标为∴∴∠OCB=∠ECF=45o∴∠BCE=90o在Rt△BCE中与Rt△BOD中，，∴∠CBE＝∠OBD＝，………………………4分∴sin（－）＝sin（∠DBC－∠OBD）＝sin∠OBC＝……………5分（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），，P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似………………………8分2如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（- 4，），且在x轴上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y轴上确定一点M，使MA+MC的值最小，求出点M的坐标；（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点N，使得以N、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.（1）∵抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的对称轴为直线. ∵抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6，∴ A(-1 , 0 )，B( -7 , 0 ) . ………………………1分设抛物线解析式为，∴.解得，.∴ 二次函数的解析式为. ……………2分（2）作点A关于轴的对称点，可得（1.0）.连接C交轴于一点即点M，此时MC + MA的值最小.由作法可知，MA = M. ∴MC + MA = MC + M=C. ∴当点M在线段C上时，MA + MC取得最小值. ……………3分 ∴线段C与轴的交点即为所求点M.设直线C的解析式为(k≠0)，　 ∴∴. ……………4分 ∴直线C的解析式为. ∴点M的坐标为( 0，). …………………5分（3）由（1）可知，C(－4，)，设对称轴交x轴于点D，∴AD = 3. ∴在Rt△ADC中，. ∴∠CAD = 30o，∵AC = BC，∴∠ABC = ∠CAB = 30o.∴∠ACB = 120°. …………………………………6分①如果AB = A N1= 6，过N1作E N1⊥x轴于E. 由△ABC∽△BA N1得∠BA N1= 120o，则∠EA N1= 60o .∴N1E = 3，AE =3.∵A(-1 , 0 )，∴OE = 2. ∵点N在x轴下方， ∴点N2(2，). ………………………………………7分②如果AB = B N2，由对称性可知N2(-10，). ……………………8分③如果N3A = N3B，那么点N必在线段AB的中垂线即抛物线的对称轴上，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点N.经检验，点N1 (2，)与N2 (-10，)都在抛物线上 . …………9分综上所述，存在这样的点N，使△NAB∽△ABC，点N的坐标为(2，)或(-10，). 3已知：直线y=-2x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过点A、C、 E，且点E（6，7）（1）求抛物线的解析式.（2）在直线AE的下方的抛物线取一点M使得构成的三角形AME的面积最大，请求出 M点的坐标及△AME的最大面积.（3）若抛物线与x轴另一交点为B点，点P在x轴上，点D（1，-3），以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．（1）∵直线y=-2x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C∴A（-1，0） C（0，-2）………1分设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c ∵抛物线经过点A、C、Ea-b+c=0 a= ∴ c=-2 ∴ b=36a+6b+c=7 c=-2∴……………2分（2）在抛物线上取一点M，作MN//y轴交AE于点N设点M的横坐标为a，则纵坐标为∵ MN//y轴∴点N的横坐标为a设AE的解析式y=kx+b，把A（-1，0） E（6，7）代入y=kx+b中得 -K+b=0 解得： K