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《2010年全国高中数学联赛试题及详解答案含一试和加试
2010年全国高中数学联赛
一 试
一、填空题(每小题8分,共64分,)
函数的值域是 .
已知函数的最小值为,则实数的取值范围是 .
双曲线的右半支与直线围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是 .
已知是公差不为的等差数列,是等比数列,其中,且存在常数使得对每一个正整数都有,则 .
函数 在区间上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是 .
两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
正三棱柱的9条棱长都相等,是的中点,二面角,则 .
方程满足的正整数解(x,y,z)的个数是 .
二、解答题(本题满分56分)
9. (16分)已知函数,当时,,试求的最大值.
10.(20分)已知抛物线上的两个动点,其中且.线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.
11.(20分)证明:方程恰有一个实数根,且存在唯一的严格递增正整数数列,使得 .
一 试 解 答
1. 提示:易知的定义域是,且在上是增函数,从而可知的值域为.
2. 提示:令,则原函数化为,即
.
由,, 及 知 即
. (1)
当时(1)总成立;
对;对.从而可知 .
3. 9800 提示:由对称性知,只要先考虑轴上方的情况,设与双曲线右半支于,交直线于,则线段内部的整点的个数为,从而在轴上方区域内部整点的个数为
.
又轴上有98个整点,所以所求整点的个数为.
4. 提示 :设的公差为的公比为,则
(1)
, (2)
(1)代入(2)得,求得.
从而有 对一切正整数都成立,即 对一切正整数都成立.
从而
,
求得 ,.
5. 提示:令则原函数化为,在上是递增的.
当时,,
,
所以
;
当时,,
,
所以
.
综上在上的最小值为.
6. 提示:同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为,从而先投掷人的获胜概率为
.
7. 提示:解法一:如图,以所在直线为轴,线段中点为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则,从而,.
设分别与平面、平面垂直的向量是、,则
由此可设 ,所以,即
.
所以 .
解法二:如图, .
设与交于点 则 .
从而平面 .
过在平面上作,垂足为.
连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.
在直角中,,即 .
又 .
.
8. 336675 提示:首先易知的正整数解的个数为 .
把满足的正整数解分为三类:
(1)均相等的正整数解的个数显然为1;
(2)中有且仅有2个相等的正整数解的个数,易知为1003;
(3)设两两均不相等的正整数解为.
易知
,
所以
,
即
.
从而满足的正整数解的个数为
.
9. 解法一: 由 得
.
所以
,
所以. 又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大值为.
解法二:. 设,则当时,.
设 ,则.
.
容易知道当时,. 从而当时, , 即
,
从而 ,,由 知.
又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大值为.
10. 解法一:设线段的中点为,则 ,
.
线段的垂直平分线的方程是
. (1)
易知是(1)的一个解,所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点,且点坐标为.
由(1)知直线的方程为,即
. (2)
(2)代入得,即
. (3)
依题意,是方程(3)的两个实根,且,所以
,
.
.
定点到线段的距离 .
.
当且仅当,即,或时等号成立.
所以,面积的最大值为.
解法二:同解法一,线段的垂直平分线与轴的交点为定点,且点坐标为.
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