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2003年安徽省高中数学竞赛（初赛） 一、选择题（每小题6分,共36分） 1．．若，，则P-M等于（ ） A．M B．P C． D． 2．函数 部分图象是( ) A B C D 3．若不等式对所有正实数、都成立，则的最小值是（ ） A． 2 B． C． D． 4 4．曲线和的交点有（ ）个． A．2 B．3 C．4 D． 无穷多 5．设．若，则数列( )． A．递增 B．奇数项增，偶数项减 C．递减 D．偶数项增，奇数项减 6．在边长为1的正方体C内，作一个内切大球O1，再在C内的一个角顶内，作小球O2，使它与大球外切，同时与正正方体的三个面相切．则球O2的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题9分，共54分） 7．若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是 ． 8．在的展开式中，常数项为 ． 9．设是不超过2003的正整数．如果有一个角使得成立，则这种的总的个数为 ． 10．三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如504、746等都是袄数．那么各个数位上无重数字的三位数中凹数共有 个． 11．已知，和之间有关系式，其中．则的最小值为 ． 12．已知、、均为为正整数．则方程有 组解． 三、解答题（每题15分，共60分） 13．设，函数． （1）若，试证：． (2)求使函数有最大值的的值． 14．已知点A（，0）和曲线上的点．是否存在，使得成等差数列，且公差？若存在，求出可取的所有值；若不存在，说明理由．(取) 15．某市A有4个郊县（B、C、D、E），如图．现有5种顔色，问有多少种不同的着色方法，使得相邻两块不同色，且每块只涂一种顔色？ 16．如图，△ABC的外接圆圆心为O，以△ABC各边为对称轴，求得O的三个对称点O1、O2、O3．现将各点均擦去，仅保留O1、O2、O3，试根据这三个点重新作出△ABC． 参考答案 一、1．D 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 二、7．或 8．15 9．501 10．240 11． 12．91． 三、13．(1) ． (2)当时，的最大值是，与题设矛盾． （3）当时，为二次函数． 当时，其开口向上，故最大值只能在或时取得，而矛盾，也矛盾． 当时，最大值同样不会在和上取得，故使得有最大值，只能等价于 14．因为，则数列是递增数列，故为最小，为最大．如图曲线为双曲线一部分，A（，0）是它的右焦点，则右准线的方程为: ． 由题意，等差数列的第一项为，第项为=3，于是，有 解得． 因为，故．解得． 因为为正整数，所以，的最大值为14． 于是，当时，这14个点中任意连续的个点都能得到等差数列． 又因为是等差数列，所以，．因此=3，4，5，…，14． 15．符合要求的涂色方法至少要用到三种顔色，所以，可分三类办法涂色： 用五种顔色，有种方法． 用四种顔色．选四种顔色的方法有种．其中选一种顔色A有种，剩下4块涂三种顔色，有且仅有一组不相邻区域涂同一种顔色，选一组不相邻区域的方法有2种（B、D或C、E），从余下的三种顔色中选一种涂不相邻区域有种，最后余下两种顔色涂两个区域的方法有种．根据乘法原理有种方法． 用三种顔色．选三种顔色有种方法．A、B和C、D和E各涂一种顔色有种，故得种方法． 按加法原理有，共有120+240+60=420种． 16． 如图，连结OA、OC、O2A、O2C，则四条线段相等，OAO2C是菱形．所以， O2CAO．同理，OAO3B也是菱形，O3BAO． 于是O3B O2C．从而BCO2O3为平行四边形，故BC∥O2O3． (2)同理可证AC∥O1O3，AB∥O1O2． （3）由对称性可知，OO2⊥AC，OO1⊥BC，OO3⊥AB． 则OO2⊥O1O3，OO1⊥O2O3，OO3⊥O1O2．可见O为△O1O2O3三条高线的交点． 有了上面的分析，可见解法如下： 当已知O1，O2，O3时，先作出以它们为顶点的△O1O2O3三边上的高，得交点O，然后分别