2012_126有限元讲稿第四章_ 精度较高单元rev2.ppt

Instructors Guide Introduction to ANSYS 5.3 Chapter II: Finite Element Analysis (FEA), Lesson 1: The Finite Element Analysis (FEA) Method 第四章弹性结构静力分析 （8）精度较高的平面单元简介 （8）精度较高的平面单元简介 （8）精度较高的平面单元简介 （8）精度较高的平面单元简介 （9）热应力的计算 （9）热应力的计算 （9）热应力的计算 （9）热应力的计算 （9）热应力的计算 （9）热应力的计算 （9）热应力的计算 （9）热应力的计算 二、轴对称问题的单元分析 二、轴对称问题的单元分析 （1）轴对称问题基本方程 （1）轴对称问题基本方程 （2）位移模式 （2）位移模式 （2）位移模式 （3）单元刚度矩阵 （3）单元刚度矩阵 （4）等效节点载荷 三、三维四面体单元 （1）位移模式 （1）位移模式 （1）位移模式 （1）位移模式 （2）单元应变和应力 （2）单元应变和应力 （3）单元刚度矩阵 （3）单元刚度矩阵 （4）等效节点载荷 四、等参单元 （1）单元形函数 （1）单元形函数 （1）单元形函数 （1）单元形函数 （2）坐标变换 （2）坐标变换 （2）坐标变换 （3）位移模式 （3）位移模式 （3）位移模式 其中，子矩阵[krs]由下式确定： 式中，g1=?/(1-?)，g2=(1-2?)/[2(1-?)]。 当单元内作用体积力： {q}=[qx, qy, qz]T 并且体积力为常数时，可由下式求的节点i,j,m,p的等效载荷为： 其中V为单元的体积，即三个方向的体积力都平均分配到单元的四个节点上。 由前面的讨论可知，单元形函数（位移模式）的确定是建立有限元公式的关键，也即如何选择单元内部位移的插值函数。 在建立单元的位移模式时，可以采用结构的整体坐标系，也可以采用单元的局部坐标系，即通过坐标变换，将坐标原点选择在单元上。利用单元局部坐标系，可获得推导单元形函数的一般方法，进而建立“等参单元”的概念。 “等参单元”是有限元法中应用最为广泛的单元，即适用于线性单元，也很容易推广到二次单元，容易推广于直线和曲线边界等各种复杂问题。 为了介绍“等参元”的概念，首先分析一下单元形函数的性质，确定选择形函数的基本准则。 单元形函数是定义于单元内部坐标的连续函数，为保证有限元解的收敛于精确解，它应满足以下条件： 1）在单元节点上有：Ni=1；Nj=0，（j?i）； 2）用形函数定义的位移模式在相邻单元边界是连续的，即函数单值和连续性； 3）形函数应包含任意的线性项，以保证单元位移能够满足常应变条件； 4）对某一单元，全部节点的形函数和为1：?Ni=0。 以点、直线、平面为边界的规则形状的单元称为“基本单元”，把固定在单元上的无量纲坐标系称为“自然坐标系”，也称为定义在单元上的“局部坐标系”，仅在单元内有意义-1???+1，-1???+1，如图所示。 o ?=0 ?=+1 ?=-1 1 2 o ? ? 8 7 6 5 4 3 2 1 o ? ? ? 1 2 3 4 5 6 7 8 一维单元 二维单元 三维单元 与基本单元相对应，以点、曲线、曲面为边界的不规则形状单元称为“实际单元”，将固定的直角坐标系称为“整体坐标系”或“基本坐标系”。实际单元定义在整体坐标系中，如图所示。 o y x o o x x y y z 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 一维单元 二维单元 三维单元 由于局部坐标系和基本单元形式简单，其形函数也容易构造，我们希望在获得基本单元形函数的条件下，通过一定的坐标变换转换为整体坐标中实际单元的形函数。 在单元局部坐标系中，利用插值函数很容易构造形函数。如图所示，两种一维基本单元，对线性单元有2个节点?1= -1、?2=1，形函数为： o ?=0 ?2=+1 ?1=-1 1 2 o ?3=0 ?2=+1 ?1=-1 1 2 3 对二次单元有3个节点?1= -1、?2=1、?3=0，形函数为： 一次单元 二次单元 如图示，二维基本单元是??平面内的正方形。局部坐标系原点位于正方形的中心处，单元边界是4条直线。对平面线性单元有4个节点，形函数为： o ? ? 4 3 2 1 线性单元 二次单元 o ? ? 8 7 6 5 4 3 2 1 上述单元几何形状规则，运算简单，但显然不适用于实际结构复杂形式。为此，我们可以通过坐标变换方式，将局部坐标系的基本单元转换为整体坐标系的实际单元。 为进行这种变换，必须