2012_127有限元讲稿第四章_四面体单元rev2.ppt

Instructors Guide Introduction to ANSYS 5.3 Chapter II: Finite Element Analysis (FEA), Lesson 1: The Finite Element Analysis (FEA) Method 第四章弹性结构静力分析 三维四面体单元 （1）位移模式 （1）位移模式 （1）位移模式 （1）位移模式 （2）单元应变和应力 （2）单元应变和应力 （3）单元刚度矩阵 （3）单元刚度矩阵 （4）等效节点载荷 等参单元 （1）单元形函数 （1）单元形函数 （1）单元形函数 （1）单元形函数 （1）单元形函数 （2）坐标变换 （2）坐标变换 （2）坐标变换 （3）位移模式 （3）位移模式 （3）位移模式 （4）单元应变和应力 （4）单元应变和应力 （4）单元应变和应力 （4）单元应变和应力 （4）单元应变和应力 （5）单元刚度矩阵 （6）数值积分的应用 （6）数值积分的应用 （6）数值积分的应用 （6）数值积分的应用 （6）数值积分的应用 总结 如取2个积分点：n=2 假设被积函数f(?)为三次多项式，则有： 求出上式的准确积分为： 对任意给定的ci多项式，保证上式成立的条件是对应ci的系数相等，则有： 求解上述方程可得： 所以2个积分点的高斯积分公式为： 利用一维高斯积分公式，很容易导出二维及三维高斯积分公式，只需分别对各自变量应用一维高斯积分公式即可。列出二维高斯积分公式为： 同理可得，三维高斯积分公式为： 详细介绍了求解弹性结构承受载荷作用的有限元计算公式的推导过程。 对平面问题：三角形单元：平面应力 平面应变，线性单元、常应变单元 可用于求解各种平面受力问题； 六节点三角形单元，平面应力， 平面应变，二次单元 热应力分析计算思路和有限元公式。 对轴对称问题：三角形单元， 对三维问题：四面体单元，线性单元， 等参单元：形函数的特点， 坐标变换与位移模式选择相同的形函数， 适应一维、二维和三维单元， 单元刚度矩阵用高斯数值积分计算，没有具体表达式， 刚度矩阵计算精度依赖于高斯积分公式所选的积分点数。 Formally introduce lesson. Briefly describe topic to be covered: FEA concepts. Describe delivery method: Lecture. *工程数值模拟技术—有限元分析方法 第四章 弹性结构静力分析 在工程实际中，许多问题结构形式复杂都难以简化为平面或轴对称问题，必须按三维问题（空间）进行求解。在三维问题中，最简单的单元是具有四个角点的四面体单元。下面介绍这种单元的位移模式和单元刚度矩阵。 三维四面体单元 o x y z i j m p 如图表示一个四面体单元，节点编号为(i,j,m,p)。这是最早提出的、也是最简单的三维空间单元。每个节点有三个位移分量： {?i}=[ui, vi, wi] 每个单元共有12个自由度（位移分量），可表示为： {?}e=[?i, ?j, ?m, ?p] 假设单元内部的任一点位移可表示为坐标的线性插值函数，则有： o x y z i j m p 将节点节点坐标和位移分量代入上式可得： 解上述线性方程组，求出系数(a1,a2,a3,a4)代入上式可得： o x y z i j m p 同理可得v,w得位移关系为： Ni(i,j,m,p)为三维四面体单元得形函数。具体表达式如下： V为四面体i,j,m,p的体积，由下行列式确定： o x y z i j m p 为保证四面体的体积计算为正值，单元的节点编号必须满足一定的顺序。在右手坐标系中，当节点按i?j?m的方向转动时，右手螺旋应向节点p的方向前进。 三维四面体单元节点位移分量可表示为： 式中，{?}e=[ui, vi, wi, uj, vj, wj, um, vm, wm, up, vp, wp]T，为单元节点位移列阵，[I]为三阶单位矩阵。 由于位移模式是线性函数，因此在相邻单元边界上满足位移连续条件。 由弹性力学可知，在三维空间问题中，每个节点有六个应变与