量子力学第六章解析.ppt

III 交换简并 粒子1 在 i 态，粒子2 在 j 态，则体系能量和波函数为： 验证： 粒子2 在 i 态，粒子1 在 j 态，则体系能量和波函数为： IV 满足对称条件波函数的构成 全同粒子体系要满足对称性条件，而 ? (q1,q2) 和 ? (q2,q1) 仅当 i = j 二态相同时，才是一个对称波函数； 当 i ? j 二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。所以 ? (q1,q2) 和 ? (q2,q1) 不能用来描写全同粒子体系。 构造具有对称性的波函数 C 为归一化系数 显然 ?S (q1,q2) 和 ?A (q1,q2) 都是 H 的本征函数，本征值皆为 ： V ?S 和 ?A 的归一化 若单粒子波函数是正交归一化的， 则 ? (q1,q2) 和 ? (q2 , q1) 也是正交归一化的 证： 同理： 而 同理： 证毕 首先证明 证： 同理，对其他分量亦满足。 事实上这是意料之中的事，因为凡是满足角动量定义 的力学量都满足如下对易关系： 证： 上面最后一步证明中，使用了如下对易关系： 同理可证 成立。 [证毕] 由上面证明过程可以看出，若对易括号将 J12用J1代替，显然有如下关系： 这是因为 证： 同理 亦成立。 [证毕] 所以这四个角动量算符有共同的正交归一完备的本征函数系。记为： 综合上述对易关系可知：四个角动量算符 两两对易 （1）本征函数 也两两对易，故也有共同完备的本征函数系，记为： 耦合 表象 基矢 非耦合表象基矢 （二）耦合表象和无耦合表象 由于这两组基矢都是正交归一完备的，所以可以相互表示，即： 称为矢量耦合系数 或 Clebsch - Gorldon 系数 因为 所以有 于是上式求和只需对 m2 进行即可。考虑到 m1 = m - m2 ，则上式可改写为： 或： 我们知道，两个表象之间的么正变换有一个相位不定性，如果取适当的相位规定，就可以使C-G系数为实数。 共轭式 j的取值范围（j与j1,j2的关系） 1.对给定j1 j2 ，求 jmax 因为m m1 m2 取值范围分别是： m = j, j-1,..., -j+1, -j → mmax = j; m1 = j1, j1-1,..., -j1+1, -j1 → (m1)max = j1; m2 = j2, j2-1,..., -j2+1, -j2 → (m2)max = j2; 再考虑到m = m1 + m2，则有：mmax = (m1)max+ (m2)max = j = jmax，于是： jma x = j1 + j2 2.求 jmin 由于基矢|j1 m1, |j2 m2 对给定的j1 j2分别有2j1+1和2j2+1个， 所以非耦合表象的基矢 |j1, m1,j2,m2 = |j1,m1 |j2, m2 的数目为(2j1+1)( 2j2+1)个 。 另一方面，对于一个 j 值，|j1, j2, j, m 基矢有 2j+1个，那末 j 从 jmin 到 jmax 的所有基矢数则由下式给出： 等差级数求和公式 Jmax = j1 + j2 由于非耦合表象基矢和耦合表象基矢是相互独立的，等式两边基矢数应该相等，所以耦合表象基矢|j1,j2,j,m 的数亦应等于(2j1+1)(2j2+1)个， 从非耦合表象到耦合表象的变换由下式给出： 等式两边基矢数应该相等 于是 (j1+j2+1)2 - jmin2 = (2j1+1)(2j2+1) 从而可解得： jmin = |j1-j2|。 3. j 的取值范围 由于 j 只取 ≥0 的数，所以当 j1 j2 给定后，j 的可能取值由下式给出： j = j1+j2, j1+j2-1, j1+j2-2, ......, |j1 - j2|. 该结论与旧量子论中角动量求和规则相符合。j1, j2 和 j 所满足的上述关系称为三角形关系，表示为Δ(j1, j2, j)。 求得 j, m 后， J2, Jz 的本征值问题就得到解决。 本征矢 作为一个例子下面列出了电子自旋角动量j2 = 1/2情况下几个C-G系数公式。 将这些系数代入本征矢表达式可得： （一）复习类氢原子能谱（无自旋轨道作用） （二）有自旋轨道相互作用情况 （1）无耦合表象 （2）耦合表象 （1）Hamilton量 （2）微扰法求解 （3）光谱精细结构 （4）零级近似波函数 本节讨论无外场作用下，考虑电子自旋对类氢原子能级和谱线的影响。 §5 光谱精细结构 返回 （1）无耦合表象 类氢原子Hamilton量 对类氢原子在不考虑核外电子对核电得屏蔽效应