4.1.2圆的一般方程.ppt

4.1.2 圆的一般方程 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 指出下面圆的圆心和半径： (x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0) 特征： 直接看出圆心与半径 复习 (1,-2) （-2,2） (-a,2) x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得 - 2 2 2 2 2 2 0 2 = - + + - + r b a by ax y x 由于a, b, r均为常数 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式 动动手 1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程都表示的曲线是圆呢？ 思考? 2.下列方程表示什么图形？ （1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0. 将 左边配方，得 （1）当 时, 它表示以 为圆心, 以 为半径的圆; D2+E2-4F0 (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示 一个点 (3)当D2＋E2－4F＜0时， 方程无实数解,不表示任何图形． 所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F0）可表示圆的方程 圆的一般方程： x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 圆的一般方程与标准方程的关系： (D2+E2-4F0) （1）a=-D/2，b=-E/2，r= ②没有xy这样的二次项 标准方程指出了圆心与半径，几何特征明显。 一般方程形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0； 一般方程则是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显 。 例1、判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径 (1) x2+y2-2x+4y-4=0 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 (5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 是 圆心（1，-2）半径3 是 圆心（3，-1）半径 不是 不是 不是 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于 2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是 练习 下列方程各表示什么图形?若是圆则 求出圆心、半径. a 例2： 巩固： 4 -6 -3 2或-2 (1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系: 一般方程 标准方程 [小结一]: 举例 例3： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 几何方法 方法一： y x M1(1,1) M2(4,2) 0 圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上 （4-a）2+（2-b）2=r2 ? ? ì í ? （a）2+（b）2=r2 （1-a）2+（1-b）2=r2 解：设所求圆的标准方程为： （x-a）2+（y-b）2=r2 待定系数法 方法二： 所求圆的方程为： 即（x-4）2+（y+3）2=25 ? ? ì í ? a=4 b=-3 r=5 解得 例3： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 例3： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 解：设所求圆的一般方程为： 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则 ? ? ì í ? F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 所求圆的方程为: x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25 待定系数法 方法三： ? ? ì í ? F=0 D=-8 E=6 解得 用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准方程或 一般方程； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F 的方程； 3. 解方程组，求出a、b、r或D、E、F的 值，代入所设方程，就得要求的方程． 小 结： (特殊情况时,可借助图象求解更简单) 注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.