导数的综合应用导数的综应用.ppt

在(-1, )上为增函数. 所以g(x)极小值=g(-1)=-1,g(x)极大值=g( )= 所以m的取值范围是(-1, ). (2)因为f(x)=x3+ax2-a2x+m(a0), 所以f′(x)=3x2+2ax-a2. 因为f(x)在x∈[-1,1]内没有极值点,所以方程f′(x)=3x2+2ax-a2=0在区间[-1,1]上没有实数根, 由Δ=4a2-12×(-a2)=16a20,二次函数对称轴x=- 0, 当f′(x)=0时,即(3x-a)(x+a)=0,解得x=-a或x= , 所以 或 -1(a-3不合题意,舍去),解得a3. 所以a的取值范围是{a|a3}. (3)令f′(x)=3x2+2ax-a2=0,解得x=-a或x= ,且a∈[3,6]时, ∈ [1,2],-a∈[-6,-3]. 又因为x∈[-2,2],所以f′(x)在[-2, )上小于0,f(x)是减函数; f′(x)在( ,2]上大于0,f(x)是增函数; 所以f(x)max=max{f(-2),f(2)},而f(2)-f(-2)=16-4a20, 所以f(x)max=f(-2)=-8+4a+2a2+m, 又因为f(x)≤1在[-2,2]上恒成立,所以f(x)max≤1,即-8+4a+2a2+m≤1,即m≤9-4a-2a2,在a∈[3,6]上恒成立. 因为h(a)=9-4a-2a2在a∈[3,6]上是减函数,最小值为-87. 所以m≤-87,即m的取值范围是{m|m≤-87}. 考点三　利用导数解决不等式问题　 【考情分析】利用导数解决不等式问题是近几年高考热点,常涉及不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题. (1)不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个区间A上恒成立(存在性),求参数取值范围. (2)证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立. (3)大小比较问题,一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角式结构,可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题. 【典例3】(2014·福建高考)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=fx在点A处的切线斜率为-1. (1)求a的值及函数fx的极值. (2)证明:当x0时,x2ex. (3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex. 【解题提示】(1)利用导数求极值.(2)构造新函数,利用导数求最值.(3)对c分c≥1,0c1分类讨论或对x0取特殊值,然后求解. 【规范解答】方法一:(1)由f(x)=ex-ax,得f′(x)=ex-a. 又f′(0)=1-a=-1,得a=2. 所以f(x)=ex-2x,f′(x)=ex-2. 令f′(x)=0,得x=ln2. 当xln2时,f′(x)0,f(x)单调递减; 当xln2时,f′(x)0,f(x)单调递增. 所以当x=ln2时,f(x)取得极小值, 且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值. 热点专题突破系列(一) 导数的综合应用 考点一　利用导数解决实际生活中的优化问题　 【考情分析】以实际生活为背景,通过求面(容)积最大、用料最省、利润最大、效率最高等问题考查学生分析问题、解决问题以及建模的能力,常与函数关系式的求法、函数的性质(单调性、最值)、不等式、导数、解析几何中曲线方程、空间几何体等知识交汇考查. 【典例1】(2015·重庆模拟)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域. (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 【解题提示】直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域,通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值. 【规范解答】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.根据题意得 200πrh+160πr2=12000π,所以h= (300-4r2),从而V(r)=πr2h = (300r-4r3). 因r0,又由h0可得r ,故函数V(r)的定义域为(0, ). (2)因V(r)= (300r-4r3).故V′(r)= (300-12r2).令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因r2=-5不