《信号与系统教学资料》小结.ppt

第十二章习题课 六、欧拉方程 小结 * 微分方程小结 (1) 可分离变量的微分方程 解法 1、一阶微分方程的解法 (2) 齐次方程 解法 作变量代换 一、常见方程类型及解法 齐次方程． 否则为非齐次方程． (3) 可化为齐次的方程 解法 化为齐次方程． (4) 一阶线性微分方程 齐次； 非齐次. 齐次方程的通解为 （使用分离变量法） 解法 非齐次微分方程的通解为 （常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程 方程为非线性微分方程. 解法　 需经过变量代换化为线性微分方程． 2、可降阶的高阶微分方程的解法 解法 特点 型 接连积分n次，得通解． 型 解法 代入原方程, 得 特点 型 解法 代入原方程, 得 求得其解为 原方程通解为 3、二阶线性微分方程解的结构 （1）二阶齐次方程解的结构: （2）二阶非齐次线性方程的解的结构: 4、二阶常系数齐次线性方程解法 解法 由特征方程的根确定其通解的特征方程法. 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 推广： 阶常系数齐次线性方程解法 5、二阶常系数非齐次线性微分方程解法 解法　待定系数法. 解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法 非全微分方程 非变量可分离 幂级数解法 降阶 作变换 作变换 积分因子 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程. 的方程(其中 形如 叫欧拉方程. 为常数) 特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同． 作变量变换 将自变量换为 用 表示对自变量 求导的运算 上述结果可以写为 将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量 的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解后， 把 换为 ， 即得到原方程的解. 一般地， 欧拉方程解法思路 变系数的线性微分方程 常系数的线性微分方程 变量代换 解 代入原方程得 原方程通解为 例 1 特征根为 故所求通解为 解 特征方程为 例2 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 例3 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入上式 所求非齐方程特解为 原方程通解为 （取虚部） 例4 * *