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2015考研强化班绝密资料 第二讲 行列式
第二讲 行列式
概念部分
形式 记号 意义
(简记为|aij|)
每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.
意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.
二. 定义(完全展开式)
2阶和3阶行列式的计算公式:
一般地,一个n阶行列式
|aij|=
这里
1.是许多(n!个)项的代数和(在求和时每项先要乘+1或-1.)
2. 每一项,都是n个元素的乘积,它们取自不同行,不同列.
即列标j1j2…jn构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列),共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!个项.
表示对所有n元排列求和.
3. 规定?(j1j2…jn)为全排列j1j2…jn的逆序数.
称12…n为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象,一对大小颠倒的数构成一个逆序.
逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.
例如求436512的逆序数:
,??=5+1+5+4+2+2+0+0=19.
例如下三角行列式
对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积,
三. 行列式的性质
1.把行列式转置值不变,即|AT|=|A| .
2.作第一类初等变换, 行列式的值变号.
3.作第二类初等变换, 行列式的值乘c.
问题: |cA|=?
c|A|;|c||A|; cn|A|;|c|n|A|;
4.作第三类初等变换不改变行列式的值.
5.(对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.余子式和代数余子式
元素aij的余子式,是把第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式,记作Mij.
aij的代数余子式为Aij=(-1)i+jMij.
n=4, |aij|=a21A21+a22A22+a23A23+a24A24.(对第2行的展开式)
6. 性质 某一行(列)的各元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为0.
7.对一行或一列的分解.
如果某个行(列)向量???????则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量?换为?或??所得到的行列式.例如
|?,?1+?2???|=|?,?1???|+|?,?2???|.
问题:|A+B|=|A|+|B|?
例如A=(?1,?1??1?),B=(?2,?2??2?),则A+B=(?1+?2,?1??2??1+?2),
|A+B|=|?1+?2,?1??2??1+?2|
=|?1,?1??2??1+?2|+|?2,?1??2??1+?2|
=|?1,?1??1+?2|+|?1,??2??1+?2|+|?2,?1??1+?2|+|?2,??2??1+?2|
=|?1,?1??1|+|?1,??1,?2|+|?1,?2??1|+|?1,??2??2|+
+|?2,?1??1|+|?2,??1??2|+|?2,?2??1|+|?2,??2??2|.
8. 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.
9. 拉普拉斯公式的一个特殊情形:
如果A与B都是方阵(不必同阶),则
A * = A O =|A||B|.
O B * B
附:范德蒙行列式:形如
的行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,…,an所决定,它的值等于
因此范德蒙行列式不等于0( a1,a2 ,a3,…,an两两不同.
四.克莱姆法则
克莱姆法则的原型:当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵A为n阶矩阵)时.
|A|(0(方程组有唯一解.
此解为 (D1/|A|, D2/|A|,(,Dn/|A|)T,
Di是把|A|的第i个列向量换成常数列向量?所得到的行列式.
克莱姆法则的改进:
|A|(0是方程组有唯一解的充分必要条件.
求此解可用初等变换法:对增广矩阵(A|?)作初等行变换,使得A变为单位矩阵:
(A|?)((E|(),
(就是解.
用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|(0.
(A|?)((B|().
|A|和|B|不一定相等,但是
|A|(0(|B|(0.
于是只用说明|B|(0是方程组有唯一解的充分必要条件.(B|()=
如果|B|(0,则每个bii都不为0,于是(B|()有n个非零行,最下面的不是(0,0, (,0|d)的形式,因此是唯一解.
如果是唯一解,则每个bnn不为0,从而每个bii都不为0, |B|是它们的乘积,也不为0.
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