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§14－5 简谐运动的能量 Energy of Simple Harmonic Vibration 引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而具有势能，动能和势能之和就是其能量。 一、简谐运动的能量 1．能量表达式t时刻质点的位移为x，速度为v，则 则系统动能为： 系统势能为： 因而系统的总能量为 考虑到，则 （2）结论 弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。 （3）解释 由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变。 （4）说明 1）E∝A2，对任何简谐运动皆成立； 2）动能与势能都随时间作周期性变化，变化频率是位移与速度变化频率的两倍，而总能量保持不变；且总能量与位移无关。 动能Ek=E-Ep 2．能量曲线 注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。f(t)，在时间T内的平均值定义为 因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为 因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为 结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。 三、应用 1．应用1——记忆振幅公式 由能量守恒关系可得：k A2/2= mv02/2+ kx02/2解之即得： 2．应用2——推导简谐运动相关方程 在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重力势能），且二者之和保持不变，因而有 将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，经过简化后，即可得到简谐运动的微分方程及振动周期和频率。这种方法在工程实际中有着广泛的应用。 此方法对于研究非机械振动非常方便。 例1．用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程。 解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即 两边对时间求导，得 即 令，则 其解为 代入守恒方程可得 A=A’ 例2．劲度系数为k、原长为l、质量为m的匀质弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。 解：取物体受力平衡位置O为坐标原点，向右为x轴正方向，如图所示，设mM且振幅不大。这样，弹簧上各点随物体作同相运动，固定端振幅为零，与物体相连的一端振幅与物体的振幅相同，各点的位移与到固定端的距离S成正比(0≤S≤l)。当物体位于S处时，取微元dS，其质量为dm=mdS/l，位移为Sx/l，速度为(S/l)(dx/dt)，而dx/dt=v正是物体运动的速度。若忽略阻力，则系统机械能守恒。当物体位于x处时，弹簧的动能与物体的动能分别为 系统的势能为 根据机械能守恒定律，有 将上式对时间求导，整理后可得 或写成 式中 可见，当弹簧质量远小于物体的质量时，且系统作微小运动时，弹簧振子的运动可以认为是简谐运动，振动周期为 因而，周期比不计弹簧质量时要大。不过当m=M时，与严格计算结果相比较，误差也是不大于1％。 §14－6 简谐运动的合成 Composition of Simple Harmonic Vibration 引言：在实际问题中，振动系统常常参与多个振动。本节讨论一个物体同时参与两个或两个以上振动的合成问题。振动的合成在声学、光学、无线电技术与电工学中有着广泛的应用。本节主要讨论简单的情况。 原理：振动的合成符合叠加原理，振动也具有矢量性——是通过振动的方向与相位反映出来的。 一、同方向同频率简谐运动的合成 问题：某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动 合振动 1．应用解析法： 令：， 则： 2．应用旋转矢量法： 大小不变，且以共同角速度ω旋转，它们的相对位置不变，即夹角保持不变，所以合振动的振幅A大小不变，也以角速度ω绕O作逆时针旋转，故合成振动也是简谐运动。 圆频率：ω 合振幅： 初相位： 合振动： 3．讨论： 1）合振动仍然是简谐运动，且频率仍为ω； 2）合振动的振幅不仅与A1、A2有关，而且还与相位差有关。 若 ，则 即两个分振动同相时，合振幅等于分振幅之和。 若 ，则 即两个分振动反相时，合振幅等于分振幅之差的绝对值。 一般情况下，合振动的振幅则