7.2,3,4可分离变量的微分方程汇编.ppt

两边积分 即 得通解 分离变量 一阶微分方程 求解下列微分方程 一阶微分方程 例 解题提示 方程中出现 等形式的项时, 通常要做相应 的变量代换 一阶微分方程 解 求微分得 代入方程 可分离变量方程 解 分离变量法得 所求通解为 可分离变量方程 一阶微分方程 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 一阶线性方程. 可分离变量方程 一阶微分方程 方程变形为 一阶微分方程 解 原方程 再令 齐次方程 一阶微分方程 解微分方程 例 解 原方程变形 一阶线性方程 原方程的解 可分离变量的微分方程 小结 作业 一阶线性微分方程 利用变量代换求解方程 第二节 一阶微分方程 全微分方程 伯努利(Bernoulli)方程 第十二章 微分方程 如果一阶微分方程 等式的每一边仅是一个变量的函数与这个 可分离变量的方程 或 可以写成 的形式, 易于化为形式 特点 变量的微分之积. 两端积分可得通解. 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 可分离变量的方程求通解的步骤是: 分离变量, 两边积分 其中C为任意常数. 就是方程的通解 分离变量法. 1. 2. 由上式确定的函数 (隐式通解). 这种解方程的方法称为 将上式 一阶微分方程 ; d ) ( d ) ( ò ò + = C x x y y j y 一阶微分方程 例 求方程 的通解. 解 分离变量 两端积分 为方程的通解. 隐式通解 一阶微分方程 解 通解为 . ln 的通解 求方程 y y y x = ￠ 分析 有两种方法 其一， 将所给选项代入关系式直接验算， (B)正确. 其二， 对积分关系式两边求导化为微分方程, 并注 意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程 所应满足的初始条件. 一阶微分方程 1991年考研数学一, 3分 一般,未知函数含于变上限的积分中时, 常可 通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出 初始条件而解之. 解 可分离变量方程 两边积分 由原关系式 得 得 分离变量 一阶微分方程 二、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的标准形式 上面方程称为 上面方程称为 如 线性的; 非线性的. 齐次的; 非齐次的. 线性 一阶 自由项 一阶微分方程 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) (C1为任意常数) 一阶微分方程 , ln d ) ( | | ln 1 C x x P y + - = ò 2. 线性非齐次方程 线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况. 显然线性非齐次方程的解不会是如此, 之间应存在某种共性. 设想 非齐次方程 待定函数 线性齐次方程的通解是 但它们 一阶微分方程 的解是 从而C(x)满足方程 一阶微分方程 即 一阶线性非齐次微分方程的通解为 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为 待定函数的方法. 一阶微分方程 . ) ( ) ( d d 的解 是 x Q y x P x y = + 非齐次方程的一个特解 对应齐次方程通解 一阶线性方程解的结构 注 一阶线性方程解的结构及解非齐次方程 的常数变易法对高阶线性方程也适用. 一阶微分方程 解 例 一阶线性非齐次方程 一阶微分方程 解 积分方程 一阶微分方程 例 如图所示,平行于y 轴的动直线被曲线 y = f (x) 阴影部分的面积, 一阶非齐次线性方程 即 截下的线段PQ之长数值上等于 求曲线 y = f (x). ) 0 ( 3 3 = x x y 与 所求曲线为 一阶微分方程 解初值问题: 解 将方程写为 由初始条件 特解 一阶非齐次线性方程 一阶微分方程 例 解方程 若将方程写成 则它既不是线性方程, 又不能分离变量. 若将方程写成 以x为未知函数, 即 一阶非齐次线性方程. 分析 y 为自变量的 一阶微分方程 0 d ) ln ( d ln = - + y y x x y y 此外, y = 1也是原方程的解. 解 一阶微分方程 注 参数形式的. 解方程时, 通常不计较哪个是自变量哪个是 因变量, 视方便而定, 关系. 关键在于找到两个变量间的 解可以是显函数, 也可以是隐函数, 甚至是 一阶微分方程 解 这是典型的一阶线性方程. 分析 由通解公式有 一阶微分方程 1992年考研数学一, 3分 x C x cos ) ( + x C x cos ) ( + = 2002年考研数学二, 7分 求微分方程 的一个解 与直线 以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所围成 的旋转体体积最小. 使得由曲线 解 一阶微分方程 原方程可化为 则 一阶线