5-4、5-5麦克斯韦速率分布律、平均自由程汇编.ppt

§5-5　分子的平均碰撞频率平均自由程 一、平均碰撞次数 单位时间内一个分子与其他分子碰撞的平均次数称为平均碰撞频率，用 表示。 假定每个分子都是直径为d的弹性小球，并且假定只有某一个分子以平均速率 运动，而其他分子都不动。 由于运动分子与其他分子碰撞，其运动轨迹是一条折线，如图所示。 由图中可以看出，凡是球心离折线的距离小于d的其他分子，都将和运动分子发生弹性碰撞。 如以一秒内球心所经过的轨道为轴，以d为半径，长为 ，作一圆柱体，它的体积为 ，这个圆柱体的截面积 叫做碰撞截面。 设单位体积内分子数为n，则圆柱体的分子数为 。球心在圆柱体外的分子就不会与A相碰。显然，分子A在1s内与其他分子发生碰撞的平均频率 为 以上结果是假定一个分子运动而其他分子静止而得到的，实际上所有分子都在运动，上式必须加以修正。利用麦克斯韦速度分布律可以证明，气体分子的平均相对速率 与平均速率 内的关系为 为此，需将式中的 替换成 。于是式修正为 上式说明分子平均碰撞频率与分子的有效直径、分子数密度及平均速率有关。在标准状态下，一个分子与其他分子的平均碰撞频率约为几十亿次之多。 二、平均自由程 每两次连续碰撞间一个分子自由运动的平均路程，称为平均自由程（mean free path），用 表示。 由于1s内分子平均走过的路程为 ，一个分子与其他分子碰撞的平均频率为 ，因此平均自由程为 该式表明，分子的平均自由程是与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比。 又因为将 ，所以上式可改写为 该式表示，平均自由程与分子的平均速率无关。当温度恒定时，平均自由程与压强p成反比，压强越小（空气越稀薄），平均自由程越长。 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 * * * 一、分布的概念 气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给出分子数按速率的分布。 例如： 1. 学生人数按年龄的分布 10% 40% 30% 20% 人数比率按 年龄的分布 1000 4000 3000 2000 人数按年龄 的分布 21~22 19 ~20 17 ~ 18 15 ~16 年龄 §5-4　气体分子的速率分布规律 ΔNi/N ΔNi vi ～ vi +Δv … … … … … … ΔN2/N ΔN1/N 分子数比率按速率的分布 ΔN2 ΔN1 分子数按速率 的分布 v2 ～ v3 v1 ～ v2 速率 2. 气体分子数按速率的分布 二、 速率分布函数 1.研究气体分子的速率分布 把速率分成若干相等的区间 求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数 各区间的分子数占气体分子总数的百分比 速率分布：把速率可能出现的值分成若干相等区间，平衡态下全部分子如何分配到这些区间中去的问题。 将速率分成若干相等的区间，如： 设任一速率区间为: 设总的气体分子数为N，在该区间内的分子数为ΔN ——分布在速率 v～ v+△v速率间隔内的分子数占 总分子数的比率。 ——分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数 占总分子数的比率。 2. 速率分布函数 f(v) 的定义 在平衡态下，f(v)仅是v的函数。 注意： 3. 速率分布函数 f(v) 的意义 ※分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数占总 分子数的百分比； ※对单个分子来说，它表示分子具有速率在该单位 速率间隔内的概率 。 4. 速率分布曲线 在v—v+dv区间的分子数占总分子数的百分比为 在0--?区间有 ----归一化条件 在v1--v2区间 dN N =面积 三、麦克斯韦速率分布律 早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理导出在平衡态下理想气体分子速率分布函数的具体形式 麦克斯韦速率分布函数 麦克斯韦速率分布曲线 1. 最概然速率 四、气体分子速率的三种统计平均值 在一定温度下，以相同的速率间隔来说，速率大小在与vp附近的分子数占总分子数的百分率最大。 2. 平均速率 3. 方均根速率 (1) 一般三种速率用途各不相同 讨论分子的碰撞次数用 说明 讨论分子的平均平动动能用 讨论速率分布一般用 (2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: · · · 解：(1) 由题意可知可画出函数分布曲线。 五、麦克斯韦速率分布曲线的性质 1）气体分子速率可取 的一切值，但v 很小和v 很大的分子所占比率小，具有