导数几何意义..doc

1.1.3导数的几何意义 教材分析 本节内容选自数学人教A版选修2-2第1章“导数及其应用”第1.1.3“导数的几何意义”第一课时.导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法. 教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，学生通过观察、思考、发现、归纳、运用，形成完整的概念，有利于学生对知识的理解和掌握. 通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，并更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具. 课时分配 本节内容用1课时完成，主要讲解导数的几何意义，让学生知道函数在某一点处的导数就是在这一点处切线的斜率，为求函数在某点处的切线方程提供条件. 教学目标 重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义，体会数形结合、以直代曲的思想方法. 难点：对导数几何意义的理解，在某点处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解． 知识点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解. 能力点：理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 教育点：让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答. 自主探究点：“以直代曲”的数学思想方法. 考试点：求曲线的切线方程. 易错易混点：在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法. 拓展点：求曲线的切线方程. 教具准备：多媒体课件. 课堂模式：基于问题驱动的探究式教学模式. 一.创设情境 师：初中平面几何中圆的切线是怎么定义的？ 生：直线和圆有唯一公共点时，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 师：曲线在点处的切线能用直线与切线的公共点个数来定义吗？你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？ 生：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点，有时还可能有多个公共点． 师：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线，直线虽然与曲线有惟一公共点，但它与曲线不相切；而另一条直线，虽然与曲线有两个公共点和，但与曲线相切于点．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义一般曲线的切线，我们必须用新的方法来定义曲线的切线． ?? 【设计意图】引导学生归纳总结曲线在点处切线与曲线可以有不止1个公共点.直线与曲线只有一个公共点时，也不一定是曲线的切线.概念的辨析有助于学生准确理解概念，避免了学习的负向迁移.通过普通曲线的切线与圆的切线对比，使学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线的交点个数决定.由此提出：如何定义曲线上某点的切线呢？激发学生的求知欲望，进入对重点内容的探索. 二．探究新知 师：如图，当点没着曲线趋近点时，割线的变化趋势是什么？ （2）图 （1）图? （4）图图  （3）图 生：点趋近于点时，割线趋近于确定的位置. 师：为曲线的切线 【设计意图】尤其第五幅图通过课件演示割线的动态变化趋势，为学生观察、思考提供平台，引导学生共同分析，直观获得切线定义.通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线， 使学生体会这种定义适用于各种曲线，反映了切线的直观本质. 三.理解新知 师：割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？ 割线的斜率是：（板书）． 当点无限趋近于点时，无限趋近于切线的斜率．再次通过教师逐步的引导得出函数在处导数就是切线的斜率.（教师重复定义，并板书）． 即. 教师引导学生观察：在点的附近，比更接近曲线，比更接近曲线，……．过点的切线最贴近附近的曲线．因此，在点的附近，曲线可以用过点的切线近似代替． 【设计意图】要求学生能数形结合，将切线斜率和导数相联系，观察、思考获得导数的几何意义. “以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法． 四．运用新知 例1．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象.用图形体现导数，的几何意义. 生：运动员在时的瞬时速度为，这说明运动员在附近，正以大约的速率下落；运动员在时的瞬时速度为，这说明运动员在附近，正以大约的速率上升. 师：根据图像描述、比较曲线在附近增（减）以及增（减）快慢的情况. 请运用导数的几何意义，描述在附近增（减）以及增（减）快慢的情况.在附近呢？ 生：作出曲线在这些点处的切线，⑴在处切线平行于轴，即，说明在时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在作出切线，切线呈下降趋势，即，函数在点附近单调递减.曲线在附近比在附近下降得更快，则是因为. ⑵当时，曲线在处的切线的斜率．∴ 在附近曲线上升，即函数在附近单调递增． ⑶当时，曲线在处的切线的斜率．∴ 在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减． 师：如何用导数研究函数的增减？（先由学生交流讨论，学生回答后，教师再归纳结论） 结论：根据导数的几何意义，当某点