导数及应用..doc

一、复习 1.　瞬时速度 一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋）这段时间内的平均速度为.　如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数a，就说当趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度. 2.　切线的斜率 问题2：P（1,1）是曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况. 析：设点Q的横坐标为1＋，则点Q的纵坐标为（1＋）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量）， 所以，割线PQ的斜率. 由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，变得越来越小，越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即无限趋近于0时，无限趋近于2.　这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.　我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.　由点斜式，这条切线的方程为：. 一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.　当点Q沿着曲线无限接近点P，即趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.　此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k. 小结 　　瞬时速度是平均速度当趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当趋近于0时的极限. 二、练习： 1.　某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s时的速度. 2.　判断曲线在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3.　一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，求t＝4s时此球在垂直方向的瞬时速度. 4.　判断曲线在（1，）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 三、导数的概念 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 我们称它为函数在出的导数，记作或，即 注：1.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。 3.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。 4.导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。 5.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。 6.在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成。 7.若极限不存在，则称函数在点处不可导。 8.若在可导，则曲线在点（）有切线存在。反之不然，若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即 ＝＝ 函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝。所以函数在处的导数也记作。 注：1.如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。 2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。 3.求导函数时，只需将求导数式中的换成就可，即＝ 4.由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量。 （2）求平均变化率。 （3）取极限，得导数＝。 例1.求在＝－3处的导数。 例2.已知函数 （1）求。 （2）求函数在＝2处的导数。 练习 1.求下列函数的导数： （1）；　　　　　　　　　　　　　　　　（2） (3) (3) 2.求函数在－1,0，1处导数。 3.求下列函数在指定点处的导数： （1）；　　　　　　　　　　　　　　　（2）； （3）　　　　　　　　　　　　　　（4）. 4.求下列函数的导数： （1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）； （3）　　　　　　　　　　　　　　　　　（4）。 5.求函数在－2,0，2处的导数。 四、导数的计算 1、基本初等函数的导数公式 2、导数运算法则 3、复合函数的导数 例1.已知函数(a,b为常数)，求. 例2.求下列函数的导数 （1）　　　　　（2） （3）