刚体的定轴转动jhzhou分析报告.ppt

§4.6 刚体的动能定理 EX4-7 有一质量为m、长为l 的均匀直杆可绕一水平轴O在竖直平面内无摩擦地旋转 ，AO=l/3。杆初始水平静止。求(1)杆在水平位置时的角加速度；(2)杆转到竖直位置时的角速度和角加速度；(3)在竖直位置时，杆两端和中点的速度和加速度；(4)杆在竖直位置时杆对转轴的作用力。 解：在转动中杆受到重力mg和轴的支持力N的共同作用，其中支持力N不作功。 (1)在水平位置，杆受到的力矩为： o C θ mg A B l/3 杆的转动惯量为： * * 第4章 刚体的定轴转动(Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis) 4.1 刚体的运动 1. 刚体(Rigid Body) 2. 平动(Translation) A’ B’ B” A” 刚体的平动 A B 刚体内任意两质点的连线方向在运动过程中保持恒定的运动。 在外力作用下形状和大小保持不变的物体。 特点：刚体是一个理想化的模型。由无数的质点组成，在运动中任意两个质点之间的距离保持不变。 刚体的运动有平动和转动。 任意质点的运动都可代表整个刚体的平动。 4.1 刚体的运动 刚体上所有质点均绕同一直线作圆周运动的运动，该直线称为转轴。如果转轴是固定不动的，称为定轴转动。 3. 刚体的转动(Rotation) §4.2 质心 质心运动定理 则质心的位矢定义为： x y z o mi C 1. 质心(Center of Mass) 设质点系各质点质量m1、m2、… mn，它们的位矢为 。 分量式 对质量连续分布的物体： §4.2 质心 质心运动定理 分量式 对质量分布均匀，形状对称的物体，质心就在其几何中心。 质心指质量中心，重心指重力的作用点，是两个不同的概念。当物体不太大时，质心和重心位置重合。 §4.2 质心 质心运动定理 2. 质心运动定理 由质点系的动量定理： →质心运动定理 3. 刚体的重力势能 hc：刚体质心离地面的高度。 4.3 刚体的角动量 转动惯量 方向：与刚体转动方向成右手螺旋，常画在转轴上。 1. 角速度矢量 刚体做定轴转动时，每一质点都以相同的角速度绕轴做圆周运动，因此用角量θ、ω、β来表示比较方便。 质点在垂直与转轴的平面内绕轴做圆周运动，这个平面称为转动平面。 角速度矢量 大小： 4.3 刚体的角动量 转动惯量 质点P，质量为mi，与转轴相距ri，线速度为vi=ωiri，其矢量式为： p 2. 刚体的角动量 定义刚体上任一质点P对于转轴的角动量： 整个刚体对转轴的角动量为： 4.3 刚体的角动量 转动惯量 定义：刚体绕某定轴的转动惯量(Moment of Inertia)： 单位：kg·m2 刚体对某转轴的角动量： 单位：kg·m2/s 3. 转动惯量的计算 转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它的大小取决于：(1)刚体质量；(2)质量的分布；(3)转轴的位置。 与 的比较 4.3 刚体的角动量 转动惯量 一般情形下，刚体的质量连续分布： 质量体分布时： 质量面分布时： 质量线分布时： EX4-1 (1)求一均匀细棒对垂直于细棒且通过细棒一端的转轴的转动惯量；(2)求一均匀细棒对垂直于细棒且通过细棒中心的转轴的转动惯量。 解：(1)建立如图所示的坐标系，S为棒的横截面积，在棒上任取一体积元dV=Sdx，有： 4.3 刚体的角动量 转动惯量 L x dx O (2)建立如图所示的坐标系 L x dx O 4.3 刚体的角动量 转动惯量 4.3 刚体的角动量 转动惯量 EX4-2 求圆环、圆盘的转动惯量。转轴通过中心且与圆环、圆盘平面垂直。 对圆盘，在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环，环的面积为2?rdr， p r dr M p M R dm 解：对圆环，取一质量元dm，有： 环的质量为： 4.3 刚体的角动量 转动惯量 转动惯量： p r dr M 4.3 刚体的角动量 转动惯量 应用以下两个定理，可简化转动惯量的计算。 (1)平行轴定理 设zc为通过刚体质心的转轴，z为与zc平行的另一转轴。两转轴相距d。 刚体对通过质心转轴的转动惯量最小。 C z zc d 4.3 刚体的角动量 转动惯量 (2)正交轴定理 薄板形刚体对板内两正交轴的转动惯量之和等于刚体对过两轴交点并垂直于板面的转轴的转动惯量。 y o z x 4.3 刚体的角动量 转动惯量 EX4-3 用平行轴定理求例4-1中的(2)。 解：d=L/2。 4.3 刚体的角动量 转动惯量 EX4-4 求半径为R、质量为M的圆盘对于以任一直径为转轴的转动惯量。 p x y z O 解：建立如图所示的坐标系，有： 4.4 刚体的转动定理 外力对刚体定轴转动的