西电计算方法作业.doc

习题1 1. x1=4.8675 x1有5位有效数字；x2=4.08675 x2有6位有效数字； X3=0.08675 x3有4位有效数字；x4=96.4730 x4有6位有效数字； X5=96×10 x5有2位有效数字；x6=0.00096 x6有2位有效数字。 8.解: yn=5yn-1-2 n=1,2,… (1) y0= 在计算y0时有舍入误差，设为e0,并设求得的y0的近似值y0,即e0= y0 -y0，所以， yn= 5yn-1-2 n=1,2,… (2) y0=y0-e0 由（1）-（2）得：yn- yn =5(yn-1- yn-1) 所以yn-yn=5ne0 n=1,2,… 所以e10=510e0=510(-1.73)=20027.42 所以这个计算过程不稳定。 10.解：f(x)=8x5-0.4x4+4x3-9x+1 =(8x4-0.4x3+4x2-9)x+1 =((8x3-0.4x2+4x)x-9)x+1 =(((8x2-0.4x+4)x-9)x+1 =((((8x-0.4)x+4)x-9)x+1 b0=8； b1=8x-0.4=8×3-0.4=23.6； b2= b1x+4=23.6×3+4=74.8； b3= b2x=74.8×3=224.4; b4= b3x-9=224.4×3-9=664.2; b5= b4x+1=664.2×3+1=1993.6; 所以f(3)= b5=1993.6. 8 -0.4 4 0 -9 1 X=3 24 70.8 224.4 673.2 1992.6 8 23.6 74.8 224.4 664.2 1993.6 所以f(3)=1993.6. 习题2 证明：令f(x)=1-x-sinx,则f′(x)=-1-cosx0, 所以f（x）在区间[0,1]中连续且严格单调递增。 又因为f(0)=1,f(1)=-sin1,即f(0)f(1)＜0, 所以方程1-x-sinx=0在区间[0,1]中有且只有一个根。 由1／2k+1=×10-3得：k≥≥9.965 所以使用二分法求误差不大于×10-3的根需要二分10次。 用简单迭代法求ex-4x=0的根，精确至四位有效数字 解：设f(x)= ex-4x,则f′(x)= ex-4。 因为f(0.35)= e0.35-4×0.35=0.019068,f(0.38)= e0.38-4×0.38=-0.057715, f(0.35)f(0.38)0且当x∈[0.35,0.38]时f′(x)= ex-40即f(x)在[0.35,0.38]上单调递减。 所以f(x) 在[0.35,0.38]上有且仅有一个根。 将方程ex-4x=0改写成等价形式x= ex/4,于是有φ（x）= ex/4，则φ′（x）= ex/4。 当x∈[0.35,0.38]时，φ（x）∈[φ(0.35),φ(0.38)]=[0.354767,0.365571]包含于[0.35,0.38]且︱φ′（x）︱≦︱φ′（0.38）︱= e0.38/4=0.3655711。 所以对任意x0∈[0.35,0.38]，迭代格式xk+1= ek/4,k=0,1,2,…收敛,取x0=0.35,则 k xk k xk 0 0.35 6 0.357388 1 0.354767 7 0.357398 2 0.356462 8 0.357401 3 0.357067 9 0.357402 4 0.357283 10 0.357403 5 0.357360 11 0.357403 所以x*≈0.3574，其误差不超过×10-4。 f(xk) 11.解：取x0=2,x1=2.2,割线公式为xk+1=xk- f(xk)-f(xk-1) ×(xk-xk-1) k=0,1,2,… k xk f(xk) 0 2 -1 1 2.2 1.248 2 2.0890 -0.061769 3 2.0942 -3.92226×10-3 4 2.0946 5.4155×10-4 所以x*≈2.095。 习题3 3.（1）解： 2 -1 3 1 r2+（-2）r1