高等数学第八篇多元微分第五节隐函数求导.pptVIP

求隐函数的二阶导数: 第二种算法 解二 利用全微分形式不变性. 备用题 二元线性方程组的求解公式 雅可比(1804 – 1851) * 二元方程确定一元隐函数 方程组情形 第八章 多元函数微分法 第五节 上页 下页 返回 结束 隐函数的求导公式 三元方程确定二元隐函数 本节主题: 1.方程在什么条件下能确定隐函数? 例如, 方程 当 C 0 时, 能确定隐函数; 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2.在方程能确定隐函数时, 解决隐函数的求导数 问题. 上页 下页 返回 结束 由方程所确定的函数称为隐函数. 在一定条件下， 二元方程F(x, y) =0确定一元隐函数； 三元方程F(x, y, z) = 0 确定二元隐函数； … . 一、二元方程确定一元隐函数 定理1. 设函数 则 (1)方程 一个单值连续可导函数 y = f (x) , 隐函数求导公式 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 1)有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定 在 的某邻域内满足 2) 3) 满足条件 (2) 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 上页 下页 返回 结束 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则可 上页 下页 返回 结束 例1. 验证方程 在点(0,0)的 某邻域内可确定一个单值连续可导的隐函数 解 令 连续, 由定理1知, 1) 确定一个单值可导的隐函数 则 2) 3) 在(0, 0) 的某邻域内,所给方程能唯一 且 并计算 上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时 — 利用隐函数求导法则 上页 下页 返回 结束 定理2. 若三元函数 的某邻域内有连续偏导数, 则 (1) 方程 在 (2) 唯一确定一个单值连续且有连续偏导数的函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 1) 在点 满足 2) 3) 的某邻域内可 上页 下页 返回 结束 二、三元方程确定二元隐函数 两边对 x 求偏导 同理可得 则 上页 下页 返回 结束 例2. 设 解一 利用隐函数求导法则 再对 x 求导 上页 下页 返回 结束 解二 利用隐函数求导公式 设 则 两边对 x 求偏导 上页 下页 返回 结束 例3. 设F( x , y)有连续偏导数, 解一 利用隐函数求导公式. 所确定的隐函数, 则 已知方程 故 上页 下页 返回 结束 对方程 解二 微分法. 上页 下页 返回 结束 两边求微分: 整理得 解得 三、方程组情形 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 由函数F、G 的偏导数组成的行列式 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例： 上页 下页 返回 结束 定理3. 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 3) 的单值连续函数 且有偏导数公式: 1)在点 2) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 导数； 上页 下页 返回 结束 课本P34-P35 参见二元线性方程组的求解公式 上页 下页 返回 结束 例4. 设 解 现在 求 以下计算 (1)式两端分别对 x 求导，得 上页 下页 返回 结束 式中 u = u(x, y), v = v(x, y)由方程 (1) 所确定. 因此 因此 (1)式两边对 y 求导, 得 上页 下页 返回 结束 所以 内容小结 1. 隐函数存在定理 2. 隐函数求导方法 方法1. 套公式; 方法2. 利用复合函数求导法则直接计算; 方法3. 利用微分形式不变性. 思考与练习 设 求 上页 下页 返回 结束 解一 上页 下页 返回 结束 确定隐函数 作业 P52 30 , 31，33 , 35 , 36 由d x 的系数可得 上页 下页 返回 结束 等式 两端微分，得 类似可求得 分别由下列两方程确定: 又函数 有连续的一阶偏导数, 设 解 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得 2001考研 解得 因此 上页 下页 返回 结束 解 上页 下页 返回 结束 德国数学家. 他在数学方面最主要 的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独 地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列 式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分 方程的研究中引进了“雅可比