复方阵若当标准形的求法探讨2.doc

复方阵若当标准形的求法探讨 吴琼 (湖南科技学院 数学与应用数学系 湖南永州 425100) 摘要：本文讨论复方阵的若当标准形及其相应的过渡矩阵求法．第一种方法探讨通过初等变换求出矩阵的初等因子，然后由初等因子可以得到矩阵的若当标准形，并求出相应的过渡矩阵；第二种方法探讨从寻求对应若当标准形矩阵的基底出发，利用有关特征值的理论来求矩阵的若当标准形及其过渡矩阵；第三种方法通过先求矩阵的特征值，然后再确定属于每一个特征值的若当块的个数和每一个若当块的级数来求矩阵的若当标准形． 关键词：若当标准形;不变因子;初等因子;过渡矩阵;特征值. The discussion about finding the Jordan canonical Form of a complex square matrix Wu Qiong (Department of Mathematic and Computational Science, Hunan University of Science and engineering, Yong zhou , Hunan,425100) Abstract: This paper discuss using three methods to find the Jordan canonical form of a complex square matrix and the transfer matrix concerned. The first method, initially, through elementary transformation to find the elementary divisor of the matrix, then get the matrix Jordan canonical form and find the transfer matrix concerned. The second method, starting with seeking the basis relative to Jordan form matrix, then in virtue of theory of characteristic values to work out the Jordan canonical form of a complex square matrix and the transfer matrix concerned. The third method, firstly, work out the eigenvalues of the matrix, then through deciding the Jordan block’s number of each eigenvalue and the progression of each Jordan block to work out matrix Jordan canonical form. Key words: Jordan canonical form; invariant divisor; elementary divisor; transfer matrix; eigenvalue 1 引言与预备知识 我们知道并不是每一个n阶复数矩阵A都相似于一个对角矩阵，但是每个n阶复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形．因为一个n阶复数矩阵A的若当标准形是一个下三角形矩阵（或上三角形矩阵），且其主对角线上的元素正是矩阵A的特征多项式的全部的根（重根按重数计算），那么这个若当形矩阵的方幂运算和行列式都是比较容易求出的．这对于我们求矩阵A的方幂和一些有关矩阵的理论证明都有很大的帮助．文[１]探讨了用初等因子求矩阵若当标准形的方法．文[2]探讨了用初等变换求矩阵若当标准形的方法，同时给出了求相应的过渡矩阵的方法．文[3] 探讨了用初等因子和初等变换求矩阵若当标准形的方法，同时也给出了求相应的过渡矩阵的方法．文[4]从寻求对应若当标准形矩阵的基底出发，利用有关特征值的理论求矩阵A的若当标准形及过渡矩阵T的方法．文[5]先求出矩阵的特征值，然后再确定属于每一个特征值的若当块的个数和每一个若当块的级数来求矩阵的若当标准形．本文在大量分析现有研究成果的基础上，对复方阵若当标准形的求法进行了一些初步的探讨，归纳总结出复方阵若当标准形的几种典型的求法． 引理1.1[1] 任意一个非零的的矩阵都等价于下列形式的矩阵 其中,是首项系数为1的多项式，且 .这个矩阵称为的标准形． 定义1.1 标准形的主对角线上非零元素称为的不变因子. 定