小学数学问题研究（二）图形与几何部分.docVIP

第二部分 关于“图形与几何”的问题研究 一、 图形的认识 1．“几何学”、“图形”与“空间”各指什么？ 【几何学】数学中最古老的一门学科，据说起源于古代埃及尼罗河泛滥后为整修土地而产生的测量法。“几何学”一词的外国语言名称就有土地测量的意思。埃及产生的几何学传到希腊，逐步发展为理论的数学。 几何学是研究图形性质的一门数学分科。所谓“图形”是指点、线、面、体以及它们的组合。 我国对几何学的研究有着悠久的历史。在三千多年前制作的陶器上已经有了正方形和菱形等图案的花纹。三千四百多年前的著作《墨子》给圆所下的定义比欧几里得的定义要早一百多年。 【图形】图形是数学的分支学科几何学的研究对象。“图形”曾经被解释为“点、线、面、体以及它们的组合。”现在则可解释为“点的集合”（点集）。因为“线、面、体”都可以看做点的集合。 【平面图形】【立体图形】【空间图形】如果图形中所有的点在同一平面内，那么这样的图形叫做平面图形，如果图形中的点不全在同一个平面内，则叫做立体图形，又称空间图形，几何学中研究平面图形的分支学科叫平面几可，研究立体图形的叫立体几何或空间几何。 【非平面图形】有些版本的教科书还引进了“非平面图形”的概念。他们把非平面图形定义为“所有的点不全在同一平面内的图形”，而将“平面图形”与“非平同图形”统称“立体图形”。 【几何体】【体】在几何学中所研究的图形包括体、面、线、点以及它们的组合。一个物体如果只研究它的形状和大小，而不管它的其它性质，那么这样的物体就叫做几何体，简称为体。可见，体是对客观世界中的物体进行抽象的产物。 同样大小的铅球和垒球，作为几何体是没有区别的。 【面】体是由面围成的。例如，长方体是由六个长方形的平面部分围成的；球体是由一个球面围成的，面有平面和曲面。球面就是一种曲面。 几何里的面是没有厚度的。 【线】面和面相交于线，线可以分为直线和曲线。如刀面和西瓜的表面交于曲线。在圆柱中，侧面和底面交于一个圆。 几何里的线是没有粗细的。 【点】线和线相交于点，几何里的点只有位置，没有大小。几何学里的点、线、面、体都是对生活里的某些事物（现实原型）进行理想化抽象的结果，体现了有限与无限对立统一。 【欧几里得空间】 设R是实数域，V是R上的三维向量空间。即 │ 设x=，y=。定义x与y的内积 （x，y）= 则内积满足下列条件： ①（x，y）=（y，x） ②（x＋y，z）=(x，y)＋（y，z） ③（ax，y）=a（x，y） ④（x，x）≥0，当且仅当x=0时，（x，x）=0 其中，x，y，z是V是任意向量，a是任意实数。 定义了内积的实数域上的向量空间称为“欧几里得”空间。 【拓扑空间】【空间】 拓扑空间是欧几里得空间的推广。给定集X，它的子集族F如果满足以下三个条件： ①空集和X是F的元； ②F内任意有限多个元的交仍然是F的元； ③F内任意有限多个元的并仍然是F的元。 则F就称为X上的一个拓扑结构，简称拓扑。 集X连同它上面的一个拓扑F构成了一个拓扑空间，简称空间。 在哲学上，“空间”与“时间”构成运动着的物质存在的两种基本形式，都具有不依赖于人的意识的客观性，它们同运动着的物质是不可分割的，“空间”和“时间”是无限和有限的统一。就宇宙而言，“空间”无边无际，“时间”无始无终；就每一具体的事物而言，“空间”和“时间”都是有限的。 在自然语言中，“空间”是物质存在的一种客观形式，由长度、宽度和高度表现出来。 参考书 [1]《中国大百科全书 数学》中国大百科全书出版社，1988年版P497；686。 [2]《辞海》上海辞书出版社，1989年版缩印本，P2017。 [3]《现代汉语词典》商务印书馆，1983年第2版P646。 2.小学生形成“直线”的概念应该包括哪些要点？怎样帮助学生逐步进行理想化抽象，认识直线的无限延伸性？ “直线”是初等几何的一个原始概念，是定义其它几何概念最初的出发点。在公理化几何体系中，直线是从现实原型中直接抽象出来的不定义的概念。它的基本性质是用一组公理来表述的。 事实上“直线”概念的教学有三个要素：直；无粗细可言和无限延伸性。其中，“直”可以通过教具演示、通过与“曲”的对比，使学生认识。“无粗细可言”也可以借助典型事例的观察和分析让学生认识到。如教室墙面的浅色区域和深色区域的分界线，就是没有粗细的线的例子。只有“无限延伸性”难以通过直观教学使学生懂得。因为我们找不到这样的实际事例。“无限的东西”我们是拿不出来的。能拿出来的，只能是“有限的东西”。于是，这种无限延伸性只能由教师告诉学生。结果，学生往往是将信将疑。 于是，有人提出如下教学方案： ①用直尺在黑板上的两点间画线。让学生在作业本上的两点间画线。指出：这样画的线都是线段。 ②让学生讨论、交流，最后明确： 线段是直的（而不是弯曲的）； 线段有两个