平面问题的有限元..docx

——单元内任一点的位移列阵——单元的结点位移列阵；——单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐　　　　　标的函数）4. 单元的力学特性分析把（3-1）式代入几何方程可推倒出用单元结点位移表示的单元应变表达式：——单元内任一点应变列阵——单元的应变矩阵；（它的元素仍为位置坐标的　函数）再把（３－２）式代入物理方程，可导出用单元结点位移列阵表示的单元应力表达式：——单元内任一点的应力列阵；——单元的弹性矩阵，（它与材料的特性有关）最后利用弹性体的虚功方程建立单元结点力阵与结点位移列阵之间的关系，即形成单元的刚度方程式：第二节三角形常应变单元一、离散化在平面应力问题中，单元为三角形板，而在平面应变问题中，则是三棱柱。二、位移式中ui、vi是节点i在x轴和y轴方向的位移。从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果弹性体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就确定了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。三、应变有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程求得应变分量。将(e) 、(f) 两式代入上式，即得：可简写成其中[B] 矩阵叫做单元应变矩阵，可写成分块形式由于和bi、bj、bm、ci、cj、cm等都是常量，所以矩阵[B]中的诸元素都是常量，因而单元中各点的应变分量也都是常量，通常称这种单元为常应变单元。四、应力求得应变之后，再将（3-13）式代入物理方程，便可推导出以节点位移表示的应力。即令则其中[S]叫做应力矩阵，若写成分块形式，有对于平面应力问题，弹性矩阵[D]为[S]的子矩阵可记为可见，对于常应变单元，由于所选取的位移模式是线性的，因而其相邻单元将具有不同的应力和应变，即在单元的公共边界上应力和应变的值将会有突变，但位移却是连续的。第三节形函数的性质形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、它点为零”的性质，即在单元的任一节点上，三个形函数之和等于1，即3.三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关、而与其它节点坐标无关。第四节刚度矩阵组装总刚[k]的一般规则：1. 当[krs]中r=s时，该点被哪几个单元所共有，则总刚子矩阵[krs]就是这几个单元的刚度矩阵子矩阵[krs]e的相加。2. 当[krs]中r s时，若rs边是组合体的内边，则总体刚度矩阵[krs]就是共用该边的两相邻单元单刚子矩阵[krs]e的相加。3. 当[krs]中r和s不同属于任何单元时，则总体刚度矩阵[krs]=[0]。三整体刚度矩阵的性质刚度矩阵[K]中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点在坐标轴方向发生单位位移而其它节点都保持为零的变形状态，在各节点上所需要施加的节点力。刚度矩阵[K]中主对角元素总是正的。刚度矩阵[K]是一个对称矩阵，即[Krs]= [Ksr]T。4、稀疏矩阵半带宽B=（相邻节点号的最大差值D+1）*2只存储上半带的元素，即所谓的半带存储。5、刚度矩阵[K]是一个奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵。[K]的正定性如果弹性体排除了刚性位移{ε}=0后，则{δ}≠0，{δ}T [K] {δ}0,于是[K]必为正定。第八节有限元分析的实施步骤①力学模型的确定根据工程实际情况确定问题的力学模型，并按一定比例绘制结构图、注明尺寸、载荷和约束情况等。②将计算对象进行离散化，即弹性体划分为许多三角形单元，并对节点进行编号。确定全部节点的坐标值，对单元进行编号，并列出各单元三个节点的节点号。③计算载荷的等效节点力（要求的输入信息）④由各单元的常数bi 、ci、bj、cj、bm、cm及行列式2，计算单元刚度矩阵。⑤组集整体刚度矩阵，即形成总刚的非零子矩阵。⑥处理约束，消除刚体位移。⑦求解线性方程组，得到节点位移。⑧计算应力矩阵，求得单元应力，并根据需要计算主应力和主方向。⑨整理计算结果（后处理部分）。对称性的利用节点的选择及单元的划分节点的编号单元节点i、j、m的次序边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正最后实例