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二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分 一、二重积分的变量变换公式 二、用极坐标计算二重积分 * 数学分析—电子教案 新余高专精品课程 上一页 下一页 §4 二重积分的变量变换 满足 一阶偏导数连续; 雅可比行列式 (3) 变换 定理21.13 变换: 是一一对应的 , 则 证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩 形, 其顶点为 通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 则 同理得 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 因此面积元素的关系为 从而得二重积分的换元公式: 例如, 直角坐标转化为极坐标时, 例1. 计算 其中D 是 x = 0, y = 0, x + y = 1 所围区域. 解 则 令 例2. 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 所围区域 D 的面积. 解 令 当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时, 则 (ii) 若原点在 D 内，则 (i) 若原点在 D 外， (iii) 若原点在 D 的边界上， (iv) 若区域 D 可表示为 则