二重积分的概念与性质-1.ppt

一、问题的提出——引例 二、二重积分的定义及可积性 三、二重积分的性质 四、小结 一、利用直角坐标系计算二重积分 二、小结 一、利用直角坐标系计算二重积分 二、小结 即得 公式1 几点小结 定限口诀 后积先定限(投影) 限内划条线(穿线) 先交下限写 后交上限见 a b o x y D x (后积变量上下限必为常数) 该线平行于坐标轴且同向 投影穿线法 3.【二重积分的计算步骤可归结为】 ①画出积分域的图形，标出边界线方程； ②根据积分域特征，确定积分次序； ③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。 公式2 (1) 使用公式1必须是X－型域， 公式2必须是Y－型域. (2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序. (见后续补充例题) (3) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域（或Y-型域） [说明] 4. 【例题部分】 例1 解Ⅰ 看作X－型域 1 2 o x y y = x y =1 D x 1 2 o x y x = y x=2 D y 1 2 解Ⅱ 看作Y－型域 例2 解 D 既是X—型域又是—Y型域 法1 －1 1 1 x o y=x D x y 法2 注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便 －1 1 1 y o y=x D －1 x y 注意两种积分次序的计算效果！ 例3 解 D既是X—型域 又是Y—型域 先求交点 法1 法2 视为X—型域 计算较繁 本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！ 小结 以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域 D 的形状，又要考虑被积函数的特性(易积) 5.【简单应用】 例4 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V. 解 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 例5 解 据二重积分的性质4（几何意义） 交点 与定积分元素法相同 6.【补充】 改变二次积分的积分次序例题 补例1 解 随堂练习 1.计算 其中 D 是由直线 y = x 及抛物线 y2 = x 所围成. 解 积不出的积分，无法计算。 课本P154 第5题第6题 练习 解 当被积函数中有绝对值时，要考虑 积分域中不同范围脱去绝对值符号。 分析 补例2 作业:－1 ? x ? 1 计算 其中D 由 所围成. 令 (如图所示) 显然, 利用对称性与奇偶性 补例3 分析 解 课本P154 第3 题 与积分变量无关 补例4 与积分变量无关 与积分变量无关 分部积分法(略). (05/06学年第一学期考试题A卷) 化为二次积分,交换积分次序 原式= 原式 补例5 解Ⅰ 解Ⅱ 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择积分次序） ［Y－型］ ［X－型］ 课本P153 习题10-2 练习 一 利用直角坐标计算二重积分 二 小结 思考题 §10.2 二重积分的计算法（一） 复习与回顾 (2)回顾一元函数定积分的应用 平行截面面积为已知的立体的体积的求法 体积元素 体积为 在点x处的平行截面的面积为: (1)二重积分 其中函数 、 在区间 上连续. (1)［X－型域］ [X—型区域的特点] 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 1. [预备知识] (2)［Y－型域］ [Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. (3) [既非X－型域也非Y－型域] 在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域) 则必须分割. 由二重积分积分区域的可加性得 (1) 若积分区域为X－型域： 2.【二重积分公式推导】 根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求. 方法 即得 公式1 * 第一节 二重积分的概念与性质 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结 思考题 复习和总结 （1）定积分是用来解决哪一类问题？ （2）解决这一类问题采用了什么思想方法？ 定积分 答：求非均匀分布在区间上的量的求和问题 被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间 答： “分割,取近似,求和, 取极限” （3）如何计算定积分？ 现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题 推广 所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关 被积函数 积分范围 二元函数 平面区域 二重积分 三元函数 空间区域 三重积分 一段曲线 曲线积分 一片曲面 曲面积分 问题: 积分类型 柱体体积=底面积× 高 【特点】平顶. 柱体体积=？ 【特点】曲顶. 1．曲顶柱体的体积 类似定积分解决问题的思想: 给定曲顶柱体: 底：xoy 面上的闭区域