二重积分的计算法-2.ppt

第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 X-型积分区域 Y-型积分区域 将二重积分化为二次积分 与直系下二次积分互化 一、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X – 型区域 直角坐标系下化二重积分为二次积分 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 由此得： 则 的值等于以D为底， 以曲面 为顶的圆柱体的体积， 若D为Y –型区域 则 当被积函数 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 穿过区域且平行于y 轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点. 直线与区域边界相交不多于两个交点. 计算中的技巧（问题）： ①、先画积分区域草图； ②、有无奇偶对称性: X型区域的特点： 穿过区域且平行于x 轴的 Y型区域的特点： 关于x奇，D关于y轴对称 关于y奇，D关于x轴对称 关于x偶， 关于y偶， D关于y轴对称 D关于x轴对称 称f(x,y)关于x为奇， 称f(x,y)关于x为偶， ③、交换积分次序： ⅰ、题目本有要求； ⅱ、出现 ⅲ、二重积分恒等式证明。 ④、积分原则：与定积分计算基本一致； （先对 x 积分，视 y 为常量， 对y 积分，视 x 为常量) ⑤、何时不得不将积分域D分块？ 穿入穿出不唯一。 解 积分区域如图 解 积分区域如图 解 原式 例4. 计算 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 例5. 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 例6. 计算 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 例7．求I= 解: 由被积函数可知, 取D 为X – 型域 : 因此取D 为Y – 型域 : 先对 y 积分不行, 例8．求I= 解: 被积函数关于x为奇，关于y为奇 因此取D 分为两部分 : 例9. 计算 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 二、利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 及射线 ? =常数, 分划区域D 为 设 则 1. 极点在积分区域外 设 则 设 则 2. 极点在积分区域的边界上 3. 极点在积分区域的内部 若 f ≡1 则可求得D 的面积 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) 适合类型： ①、积分域为圆域或圆域的一部分（包括环形域）； ②、被积函数含 因子。 注意的问题： ①、必须画出积分区域图； ②、特别注意积分向量 限的确定问题； ③、不要忘记 积分限的决定： 一般来讲，定好 是比较关键的 表示常数 曲线任意一点到极点的距离 ① 积分限的确定（一般 ) ⅰ、假设极点在闭区域D内，则： ⅱ、若极点在区域D之外或边界上：看区域D 夹在 与 之间， 以此来定 的范围（通过图形来看）； 注意： ⅱ、外层一定是常数限； ⅲ、选定 还是r ② r积分限的确定 （仍用穿刺法）具体做法： 在D内任找一点，从原点0出发向外作射线 （要注意此时与D边界的交点不能多于两个）， 先穿出的的边界解出的 为下限，后穿出 的边界解出的r为上限。 ⅰ、上限必须大于下限； 例1. 计算 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 例2：求I= 其中A为D的面积 内容小结 (1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 则 极坐标系情形: 若积分区域为 若积分域较复杂,可将它分成 若干X-型域或Y-型域 , 则 (3) 计算步骤及注意事项 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式